Wall-Sun-Sun-Primzahl

Eine Wall-Sun-Sun-Primzahl, benannt nach D. D. Wall, Zhi-Hong Sun und Zhi-Wei Sun, ist eine Primzahl p > 5, für die die durch p teilbare Zahl

<math>F\bigl(p - \bigl(\tfrac{p}{5}\bigr)\bigr)</math>

durch <math>p^2</math> teilbar ist. Dabei ist F(n) die n-te Fibonacci-Zahl und <math>\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)</math> das Legendre-Symbol von a und b, also <math>\bigl(\tfrac{p}{5}\bigr)</math> ist 1, wenn 5 ein Teiler von <math>p^2-1</math> ist, und <math>-1</math> sonst. D. D. Wall stellte 1960 die Frage, ob solche Primzahlen existieren.<ref>D. D. Wall: Fibonacci series modulo m. In: American Mathematical Monthly, 67, 1960, S. 525–532 (englisch)</ref> Die Frage ist bis heute offen, insbesondere sind keine Wall-Sun-Sun-Primzahlen bekannt. Wenn eine Wall-Sun-Sun-Primzahl existiert, muss sie größer als 9,7 × 10¹⁴ sein.<ref>François G. Dorais, Dominic W. Klyve: A Wieferich prime search up to 6.7 × 10¹⁵. In: Journal of Integer Sequences, 14, 16. Oktober 2011, Artikel 11.9.2 (englisch)</ref> Es gibt die Vermutung, dass unendlich viele existieren.<ref>Jiří Klaška: Short remark on Fibonacci-Wieferich primes. In: Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis, 15, 2007, S. 21–25 (englisch)</ref>

Zhi-Hong Sun und Zhi-Wei Sun zeigten 1992, dass eine ungerade Primzahl p eine Wall-Sun-Sun-Primzahl ist, wenn ein bestimmtes Gegenbeispiel zur Fermatschen Vermutung existiert, nämlich nicht durch p teilbare ganze Zahlen x, y, z mit x^p + y^p = z^p.<ref>Zhi-Hong Sun, Zhi-Wei Sun: Fibonacci numbers and Fermat’s last theorem. (PDF; 186 kB) In: Acta Arithmetica, 60, 1992, S. 371–388</ref> Diese Eigenschaft hatte auch Wieferich 1909 für Wieferich-Primzahlen nachgewiesen. Mit dem Beweis der Vermutung 1995 ist allerdings geklärt, dass kein Gegenbeispiel existiert, also die Voraussetzung nicht erfüllt werden kann.

Siehe auch

• Wilson-Primzahl
• Wolstenholme-Primzahl

Weblinks

• The Prime Glossary: Wall-Sun-Sun prime bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)
• {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Wall-Sun-Sun prime. In: MathWorld (englisch). {{#if: Wall-Sun-SunPrime | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | Wall-Sun-SunPrime | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}

Einzelnachweise

<references />