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Wilson-Primzahl

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Wilson-Primzahlen (nach Sir John Wilson) sind Primzahlen <math>p</math>, für die gilt, dass <math>(p-1)! + 1</math> durch <math>p^2</math> teilbar ist. Es handelt sich dabei um eine stärkere Form des Satzes von Wilson. Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563 bekannt.

Definition

Zur Notation siehe Fakultät, Teilbarkeit und Kongruenz

Der Satz von Wilson besagt, dass <math>(p-1)! + 1</math> genau dann durch <math>p</math> teilbar ist, wenn <math>p</math> eine Primzahl ist. Für jede Primzahl <math>p</math> gilt also:

<math>p \mid (p-1)! + 1</math>

Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:

<math>(p-1)!\equiv-1\pmod p</math>

oder

<math>(p-1)! + 1 \equiv 0 \pmod p</math>

Das ganzzahlige Ergebnis der Division

<math>\frac{(p-1)! + 1}{p}</math>

wird in diesem Zusammenhang auch als Wilson-Quotient <math>W(p)</math> bezeichnet<ref>{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Wilson Quotient. In: MathWorld (englisch). {{#if: WilsonQuotient | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | WilsonQuotient | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}</ref> (Folge A007619 in OEIS).

Eine Wilson-Primzahl ist nun jede Primzahl <math>p</math>, die darüber hinaus sogar Teiler „ihres“ Wilson-Quotienten ist (und den Satz von Wilson damit quasi zweimal erfüllt).

Beweis

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei <math>n > 2</math>

  • <math>n</math> ist <math>prim \Rightarrow (n-1)! \equiv -1 \mod n</math>

<math> \forall a \in \mathbb{Z}_n^* </math> hat <math>ax \equiv 1 \mod n</math> eine eindeutige Lösung <math>a^{-1} \mod n</math>

<math>a^2 \equiv 1 \Leftrightarrow (a-1)(a+1)=y\cdot n \Leftrightarrow ( a \equiv 1 \mod n</math> oder <math> -1 \mod n )</math>

<math>(n-1)!\equiv (n-1) \equiv -1 \mod n</math>

  • <math>(n-1)! \equiv -1 \mod n</math> <math> \Rightarrow n</math> ist <math>\text{prim}</math>

Annahme: <math> n=a \cdot b, a,b >1</math>

<math> a \text{ teilt } (n-1)!</math> mit <math>(n-1)! \equiv -1 \mod n \Rightarrow a \text{ teilt } n-1</math>

Widerspruch: <math>a</math> kann nicht gleichzeitig <math>n</math> und <math>n-1</math> teilen

Beispiel

Die Zahl <math>p=13</math> ist ein Teiler von <math>(p-1)! + 1</math>:

<math>\frac{(13-1)! + 1}{13} = \frac{479.001.600 + 1}{13} = 36.846.277</math>

Also ist <math>p=13</math> wegen des Satzes von Wilson eine Primzahl. Da sie ebenfalls ein Teiler des entsprechenden Wilson-Quotienten ist (36.846.277 <math>:</math> 13 = 2.834.329), ist sie sogar eine Wilson-Primzahl.

Die wiederholte Teilung entspricht der Division durch das Quadrat der Ausgangszahl. Analog zum Satz von Wilson gilt daher, dass jede Primzahl <math>p</math> genau dann eine Wilson-Primzahl ist, wenn:

<math>p^2 \mid (p-1)! + 1</math>

Beziehungsweise:

<math>(p-1)!\equiv-1\pmod{p^2}</math>

oder

<math>\frac{(p-1)! + 1}{p} = W(p) \equiv 0 \pmod p</math>

Vorkommen

Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563<ref>Karl Goldberg: A table of Wilson quotients and the third Wilson prime. In: Journal of the London Mathematical Society, 28, April 1953, S. 252–256 (englisch)</ref> bekannt (Folge A007540 in OEIS). Sollten weitere Wilson-Primzahlen existieren, so sind sie größer als <math>2 \cdot 10^{13}</math>.<ref name="Costa">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Edgar Costa, Robert Gerbicz, David Harvey|Edgar Costa, Robert Gerbicz, David Harvey: }}{{#if:|{{#if:A search for Wilson primes|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=A search for Wilson primes}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://arxiv.org/pdf/1209.3436v2.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=A search for Wilson primes}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://arxiv.org/pdf/1209.3436v2.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=A search for Wilson primes}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:27. Oktober 20121–25{{#if: 2020-02-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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Verallgemeinerungen

Wilson-Primzahlen der Ordnung n

Die Verallgemeinerung des Satzes von Wilson besagt, dass eine natürliche Zahl <math>p \in \mathbb N</math> genau dann eine Primzahl ist, wenn für alle <math>1 \leq n \leq p</math> gilt:

<math>(n-1)! \cdot (p-n)! \equiv (-1)^n \pmod p</math>

Es ist <math>p</math> also eine Primzahl, wenn <math>\frac{(n-1)! \cdot (p-n)! - (-1)^n}{p}</math> ganzzahlig ist.

Eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n ist eine Primzahl <math>p</math>, für welche gilt:

<math>p^2</math> ist Teiler von <math>(n-1)! \cdot (p-n)! - (-1)^n</math> mit <math>n \geq 1</math>, <math>p \geq n</math>

Es ist <math>p</math> also eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n, wenn <math>\frac{(n-1)! \cdot (p-n)! - (-1)^n}{p^2}</math> ganzzahlig ist.

Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:

<math>(n-1)! \cdot (p-n)!\equiv (-1)^n \pmod {p^2}</math>

oder

<math>(n-1)! \cdot (p-n)! - (- 1)^n \equiv 0 \pmod {p^2}</math>

Es wird vermutet, dass es für jede natürliche Zahl <math>n</math> unendlich viele verallgemeinerte Wilson-Primzahlen der Ordnung <math>n</math> gibt.

Beispiel

Sei <math>p=17 \in \mathbb P</math> eine Primzahl und <math>n=7</math>. Die Quadratzahl <math>p^2=17^2=289</math> ist ein Teiler von <math>(n-1)! \cdot (p-n)! - (-1)^n = 6! \cdot (p-7)! + 1</math>:

<math>\frac{6! \cdot (17-7)! + 1}{17^2} = \frac{720 \cdot 3628800 + 1}{289} = \frac{2612736001}{289} = 9040609</math>

Also ist <math>p=17</math> ein Teiler des entsprechenden verallgemeinerten Wilson-Quotienten und ist deswegen eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung <math>n=7</math>.

Der folgenden Tabelle kann man die verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung <math>n</math> entnehmen für <math>1 \leq n \leq 30</math>:

<math>n</math> <math>(n-1)! \cdot (p-n)! - (-1)^n</math> Primzahl <math>p</math>, sodass <math>p^2</math> Teiler
von <math>(n-1)! \cdot (p-n)! - (-1)^n</math>
ist 		OEIS-Link
1 <math>(p-1)!+1</math> 5, 13, 563 … (Folge A007540 in OEIS)
2 <math>(p-2)!-1</math> 2, 3, 11, 107, 4931 … (Folge A079853 in OEIS)
3 <math>2! \cdot (p-3)!+1</math> 7 …
4 <math>3! \cdot (p-4)!-1</math> 10429 …
5 <math>4! \cdot (p-5)!+1</math> 5, 7, 47 …
6 <math>5! \cdot (p-6)!-1</math> 11 …
7 <math>6! \cdot (p-7)!+1</math> 17 …
8 <math>7! \cdot (p-8)!-1</math> …
9 <math>8! \cdot (p-9)!+1</math> 541 …
10 <math>9! \cdot (p-10)!-1</math> 11, 1109 …
11 <math>10! \cdot (p-11)!+1</math> 17, 2713 …
12 <math>11! \cdot (p-12)!-1</math> …
13 <math>12! \cdot (p-13)!+1</math> 13 …
14 <math>13! \cdot (p-14)!-1</math> …
15 <math>14! \cdot (p-15)!+1</math> 349, 41341 …
<math>n</math> <math>(n-1)! \cdot (p-n)! - (-1)^n</math> Primzahl <math>p</math>, sodass <math>p^2</math> Teiler
von <math>(n-1)! \cdot (p-n)! - (-1)^n</math>
ist 		OEIS-Link
16 <math>15! \cdot (p-16)!-1</math> 31 …
17 <math>16! \cdot (p-17)!+1</math> 61, 251, 479 … (Folge A152413 in OEIS)
18 <math>17! \cdot (p-18)!-1</math> 13151527 …
19 <math>18! \cdot (p-19)!+1</math> 71, 621629 …
20 <math>19! \cdot (p-20)!-1</math> 59, 499, 43223 …
21 <math>20! \cdot (p-21)!+1</math> 217369 …
22 <math>21! \cdot (p-22)!-1</math> …
23 <math>22! \cdot (p-23)!+1</math> …
24 <math>23! \cdot (p-24)!-1</math> 47, 3163 …
25 <math>24! \cdot (p-25)!+1</math> …
26 <math>25! \cdot (p-26)!-1</math> 97579 …
27 <math>26! \cdot (p-27)!+1</math> 53 …
28 <math>27! \cdot (p-28)!-1</math> 347, 739399 …
29 <math>28! \cdot (p-29)!+1</math> …
30 <math>29! \cdot (p-30)!-1</math> 137, 1109, 5179 …

Die kleinsten verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung <math>n</math> lauten (bei aufsteigendem <math>n=1,2,3,\ldots</math>):

5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17 … (Folge A128666 in OEIS)

Schon die nächste verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung <math>n=8</math> ist nicht bekannt, muss aber größer als <math>1{,}4 \cdot 10^7</math> sein.

Fast-Wilson-Primzahlen

Eine Primzahl <math>p \in \mathbb P</math>, welche die Kongruenz

<math>(p-1)! \equiv -1+Bp \pmod {p^2}</math> mit betragsmäßig kleinem <math>|B|</math>

erfüllt, nennt man Fast-Wilson-Primzahl (englisch Near-Wilson primes).

Ist <math>B=0</math>, so erhält man <math>(p-1)! \equiv -1 \pmod {p^2}</math> und erhält die Wilson-Primzahlen.

Der folgenden Tabelle kann man alle solche Fast-Wilson-Primzahlen entnehmen für <math>|B| \leq 100</math> mit <math>10^6 < p < 4 \cdot 10^{11}</math>:<ref name="Costa" />

<math>p</math> <math>B</math>
1282279 +20
1306817 −30
1308491 −55
1433813 −32
1638347 −45
1640147 −88
1647931 +14
1666403 +99
1750901 +34
1851953 −50
2031053 −18
2278343 +21
2313083 +15
2695933 −73
3640753 +69
3677071 −32
<math>p</math> <math>B</math>
3764437 −99
3958621 +75
5062469 +39
5063803 +40
6331519 +91
6706067 +45
7392257 +40
8315831 +3
8871167 −85
9278443 −75
9615329 +27
9756727 +23
10746881 −7
11465149 −62
11512541 −26
11892977 −7
<math>p</math> <math>B</math>
12632117 −27
12893203 −53
14296621 +2
16711069 +95
16738091 +58
17879887 +63
19344553 −93
19365641 +75
20951477 +25
20972977 +58
21561013 −90
23818681 +23
27783521 −51
27812887 +21
29085907 +9
29327513 +13
<math>p</math> <math>B</math>
30959321 +24
33187157 +60
33968041 +12
39198017 −7
45920923 −63
51802061 +4
53188379 −54
56151923 −1
57526411 −66
64197799 +13
72818227 −27
87467099 −2
91926437 −32
92191909 +94
93445061 −30
93559087 −3
<math>p</math> <math>B</math>
94510219 −69
101710369 −70
111310567 +22
117385529 −43
176779259 +56
212911781 −92
216331463 −36
253512533 +25
282361201 +24
327357841 −62
411237857 −84
479163953 −50
757362197 −28
824846833 +60
866006431 −81
1227886151 −51
<math>p</math> <math>B</math>
1527857939 −19
1636804231 +64
1686290297 +18
1767839071 +8
1913042311 −65
1987272877 +5
2100839597 −34
2312420701 −78
2476913683 +94
3542985241 −74
4036677373 −5
4271431471 +83
4296847931 +41
5087988391 +51
5127702389 +50
7973760941 +76
<math>p</math> <math>B</math>
9965682053 −18
10242692519 −97
11355061259 −45
11774118061 −1
12896325149 +86
13286279999 +52
20042556601 +27
21950810731 +93
23607097193 +97
24664241321 +46
28737804211 −58
35525054743 +26
41659815553 +55
42647052491 +10
44034466379 +39
60373446719 −48
<math>p</math> <math>B</math>
64643245189 −21
66966581777 +91
67133912011 +9
80248324571 +46
80908082573 −20
100660783343 +87
112825721339 +70
231939720421 +41
258818504023 +4
260584487287 −52
265784418461 −78
298114694431 +82

Wilson-Zahlen

Eine Wilson-Zahl ist eine natürliche Zahl <math>n</math>, für welche gilt:

<math>W(n) \equiv 0 \pmod {n^2}</math>, mit <math>W(n) = \prod_\stackrel{1 \leq k \leq n}{\operatorname{ggT}(k,n)=1}{k}+e</math>

Dabei ist <math>e=1</math> genau dann, wenn <math>n</math> eine Primitivwurzel hat, sonst ist <math>e=-1</math>.

Für jede natürliche Zahl <math>n</math> ist <math>W(n)</math> durch <math>n</math> teilbar. Den Quotienten <math>\frac{W(n)}{n}</math> nennt man verallgemeinerter Wilson-Quotient.<ref name="Dilcher">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Takashi Agoh, Karl Dilcher, Ladislav Skula|Takashi Agoh, Karl Dilcher, Ladislav Skula: }}{{#if:|{{#if:Wilson Quotients for composite moduli|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Wilson Quotients for composite moduli}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.ams.org/journals/mcom/1998-67-222/S0025-5718-98-00951-X/S0025-5718-98-00951-X.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Wilson Quotients for composite moduli}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.ams.org/journals/mcom/1998-67-222/S0025-5718-98-00951-X/S0025-5718-98-00951-X.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Wilson Quotients for composite moduli}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Mathematics of Computation 67 (222)April 1998843–861{{#if: 2020-02-02 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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2, 1, 1, 1, 5, 1, 103, 13, 249, 19, 329891, 32, 36846277, 1379, 59793, 126689, 1230752346353, 4727, 336967037143579, 436486, 2252263619, 56815333, 48869596859895986087, 1549256, 1654529071288638505 (Folge A157249 in OEIS)

Ist der verallgemeinerte Wilson-Quotient durch <math>n</math> teilbar, erhält man eine Wilson-Zahl. Diese lauten:

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158 (Folge A157250 in OEIS)

Wenn eine Wilson-Zahl <math>n</math> prim ist, dann ist <math>n</math> eine Wilson-Primzahl. Es gibt 13 Wilson-Zahlen für <math>n < 5 \cdot 10^8</math>.

Literatur

  • N. G. W. H. Beeger: Quelques remarques sur les congruences rp−1 ≡ 1 (mod p2) et (p−1)! ≡ −1 (mod p2). In: The Messenger of Mathematics, 43, 1913–1914, S. 72–84 (französisch) {{#if:messengerofmathe43cambuoft
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Weblinks

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Einzelnachweise

<references />

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