Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel<ref>Vorlage:Cite book/URL Vorlage:Cite book/Meldung2 Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung</ref> (nach Willy Thomas, Fritz Reiche und Werner Kuhn) ist ein mathematisches Hilfsmittel in der Quantenmechanik.

Sie besagt, dass für die Strahlungsübergänge eines Teilchens der Masse <math>m_0</math> zwischen einem bestimmten Zustand <math>|m\rangle</math> und allen anderen Zuständen <math>|n\rangle</math> gilt:

<math>\sum_n (E_n - E_m) \left| \left\langle n | \hat x | m \right\rangle \right|^2 = \frac{\hbar^2}{2m_0}</math>
<math>\hbar</math> … die reduzierte Planck-Konstante
<math>E_n</math> … die Energie des Zustands <math>|n\rangle</math>
<math>\left\langle n | \hat x | m \right\rangle = x_{nm}</math> … das Matrixelement des Ortsoperators, das direkt mit dem elektrischen Dipolmoment des Überganges verknüpft ist

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel gilt nur für ausschließlich ortsabhängige Potentiale und kann somit in den meisten Fällen angewandt werden.

Beweis

<math>\begin{align}

\sum_n (E_n-E_m)\left|\left\langle n | \hat x | m \right\rangle\right|^2 &= \sum_n (E_n-E_m) \left\langle m\right |\hat x\left | n\right\rangle\left\langle n \right| \hat{x}\left | m\right\rangle\\ &=\frac{1}{2}\sum_n\left(\left\langle m\right | \hat{x}\hat{H}-\hat{H}\hat{x}\left |n\right\rangle\left\langle n \right | \hat{x}\left | m\right\rangle + \left\langle m \right | \hat{x}\left | n\right\rangle\left\langle n\right | \hat{H}\hat{x}-\hat{x}\hat{H}\left |m\right\rangle \right)\\ &=\frac{1}{2}\sum_n \left(\left\langle m\right | \hat{x}\left |n \right\rangle\left\langle n\right | [\hat{H},\hat{x}]\left|m\right\rangle-\left\langle m \right | [\hat{H},\hat{x}]\left | n \right\rangle\left\langle n\right|\hat{x}\left| m \right\rangle \right)\\ &=\frac{1}{2}\left( \left\langle m\right | \hat{x}[\hat{H},\hat{x}]\left | m \right\rangle -\left\langle m\right | [\hat{H},\hat{x}]\hat{x}\left |m\right\rangle \right)\\ &=\frac{1}{2} \left( \left\langle m \right | [\hat{x},[\hat{H},\hat{x}]] \left | m \right\rangle \right)\\ &= -\frac{i\hbar}{2m_0}\left\langle m\right| [\hat{x},\hat{p}]\left| m \right\rangle\\ &= \frac{\hbar^2}{2m_0} \end{align}</math>

Dabei wurden folgende Beziehungen verwendet:

Literatur