Ortsoperator

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand <math>\Psi</math> eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch gegeben durch den zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor <math>|\Psi \rangle</math> beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt.

Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen <math>\hat{\mathbf{x}} = (\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3)</math>, so dass

<math>E(\hat{x}_j) = {\langle \hat{x}_j\,\Psi,\Psi \rangle}_\mathrm{H} \ ,\quad j = 1,2,3</math>

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand <math>\Psi</math> ist.

Definition und Eigenschaften

Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren <math>\hat{x}_j</math>, die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren <math>\hat{p}_k</math> die folgenden kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen:

<math> [\hat{x}_j,\hat{p}_k]=\mathrm i\,\hbar\,\delta_{jk}\ ,\quad

[\hat{x}_j,\hat{x}_k]= 0 = [\hat{p}_j,\hat{p}_k]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\}</math>

Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum <math>\mathbb{R}^3</math> besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.

Ortsdarstellung

Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum <math>H = L^2(\R^3;\Complex)</math> ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums <math>\R^3</math>, jeder Zustand <math>\Psi</math> ist durch eine Ortswellenfunktion <math>\psi(\mathbf{x})</math> gegeben.

Die Ortsoperatoren <math>\hat{\mathbf{x}} = (\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3)</math> sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d. h. der Ortsoperator <math>\hat{x}_j</math> wirkt auf Ortswellenfunktionen <math>\psi(\mathbf{x})</math> durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion <math>x_j</math>

<math>(\hat{x}_j \, \psi)(\mathbf{x})= x_j \cdot \psi(\mathbf{x})</math>

Dieser Operator <math>\hat{x}_j</math> ist als Multiplikationsoperator ein dicht definierter Operator und abgeschlossen. Er ist auf dem Unterraum <math>D=\{\psi \in H \, | \, x\cdot\psi \in H \}</math> definiert, der in H dicht liegt.

Der Erwartungswert ist

<math>E(\hat{x}_j) = {\langle \hat{x}_j\,\Psi,\Psi \rangle}_{L^2} =

\int_{\R^3} x_j\,\psi(\mathbf{x})\,\overline{\psi(\mathbf{x})} \, \mathrm{d} x = \int_{\R^3} x_j \, |\psi(\mathbf{x})|^2 \mathrm{d} x</math>

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator:

<math>\bigl(\hat{p}_k\psi \bigr)(\mathbf x)= -\mathrm i \, \hbar \, \frac{\partial}{\partial x_k} \psi (\mathbf x)</math>

Eigenfunktionen

Die Eigenfunktionen des Ortsoperators müssen die Eigenwertgleichung

<math>(\hat{x} \, \psi_{\mathbf{x_0}})(\mathbf{x})= \mathbf{x_0} \cdot \psi_{\mathbf{x_0}}(\mathbf{x})</math>

erfüllen, wobei <math>\psi_{\mathbf{x_0}}(\mathbf{x}) </math> die Eigenfunktion des Ortsoperators zum Eigenwert <math>\mathbf{x_0}</math> darstellt.

Die Eigenfunktionen <math> \psi(\mathbf{x_0}) </math> zum Ortsoperator entsprechen Delta-Distributionen: <math> \hat{\mathbf{x}} \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x_0}) = \mathbf{x_0}\delta(\mathbf{x} - \mathbf{x_0}) </math>

mit der Identität: <math> f(x)\delta(x -x_0) = f(x_0)\delta(x-x_0) </math>

Impulsdarstellung

In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen <math>\tilde{\psi}(\mathbf{p})</math>

<math>(\hat{p}_k \, \tilde{\psi})(\mathbf{p}) = p_k \cdot \tilde{\psi}(\mathbf{p})</math>

und der Ortsoperator als Differentialoperator:

<math>(\hat{x}_j \, \tilde{\psi})(\mathbf{p}) = \mathrm i \, \hbar \, \frac{\partial}{\partial p_j} \tilde{\psi}(\mathbf{p})</math>

Literatur

{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}