Stone-Raum

In der mengentheoretischen Topologie ist ein Stone-Raum (auch proendlicher Raum, proendliche Menge oder Boolescher Raum) ein kompakter und total unzusammenhängender Hausdorff-Raum.

Definition

Für einen topologischen Raum <math>X</math> sind die folgenden Aussagen äquivalent:

<math>X</math> ist kompakt, Hausdorff und total unzusammenhängend;
<math>X</math> ist homöomorph zu einem projektiven Limes endlicher diskreter Räume in der Kategorie der topologischen Räume;<ref>Stacks project: Tag 08ZY</ref>
<math>X</math> ist kompakt, T₀ und hat induktive Dimension 0;
<math>X</math> ist spektral und Hausdorff.<ref>Stacks project: Tag 0905</ref>

In diesem Fall heißt <math>X</math> Stone-Raum<ref>Stacks project: Tag 08ZX</ref>.

Beispiele

Ein endlicher topologischer Raum ist genau dann ein Stone-Raum, wenn er diskret ist.
Für eine Primzahl <math>p</math> ist der Ring der <math>p</math>-adischen ganzen Zahlen <math>\mathbb Z_p</math> mit der <math>p</math>-adischen Topologie ein Stone-Raum.
Die Cantor-Menge ist ein Stone-Raum.
Jede proendliche Gruppe ist ein Stone-Raum.
Jeder kompakte und extremal unzusammenhängende Hausdorff-Raum ist ein Stone-Raum.<ref>Scholze: Warning 2.6</ref>

Kategorielle Eigenschaften

Die Kategorie der Stone-Räume mit stetigen Abbildungen ist äquivalent zur Pro-Kategorie der Kategorie der endlichen Mengen. Ein Limes von Stone-Räumen in der Kategorie der topologischen Räume ist wieder ein Stone-Raum<ref>Stacks project: Tag 0ET8</ref>. Nach dem Darstellungssatz für Boolesche Algebren ist die Kategorie der Stone-Räume antiäquivalent zur Kategorie der booleschen Algebren.

Lokale Stone-Räume

Ein topologischer Raum ist lokal Stone bzw. lokal proendlich, wenn jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die mit der Teilraumtopologie ein Stone-Raum ist. Der Körper <math>\mathbb Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen ist lokal Stone, aber nicht Stone. Typische Beispiele für lokale Stone-Räume sind lokal proendliche Gruppen.

Verdichtete Mathematik

Stone-Räume sind die Grundbausteine der verdichteten Mathematik ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}}, deutsch auch ‚kondensierte Mathematik‘ genannt<ref>Davide Castelvecchi: Der Umbau der Mathematik mit Computerunterstützung, in: Spektrum Magazin, Oktober 2021, S. 21–22, online vom 15. September 2021</ref>). Eine verdichtete Menge ist eine Garbe auf einer Kategorie von Stone-Räumen.<ref>Scholze: Def. 1.2, Def. 2.1, Def. 2.11</ref>

Einzelnachweise

Literatur

Peter Johnstone, Stone Spaces, Cambridge University Press, 1982
Stone space in nlab.
Peter Scholze und Dustin Clausen: Lectures on Condensed Mathematics
Stacks project: Tag 08ZW