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Smarandache-Konstanten

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In der Zahlentheorie spricht man von Smarandache-Konstanten (nach Florentin Smarandache) in zwei Zusammenhängen, einmal bei der Andricaschen Vermutung, andererseits bei der Smarandache-Funktion. Die beiden Definitionen haben außer ihrem Namensgeber nichts gemein.

1.ext Bezeichnet <math>p_n</math> die <math>n</math>-te Primzahl, so besagt die Andricasche Vermutung, dass für alle <math>n</math>
<math>\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}<1.</math>

Diese Vermutung lässt sich wie folgt verallgemeinern:

<math>p_{n+1}^a-p_n^a < 1 \qquad\quad \mathrm{f\ddot ur\; alle}\; a<a_0.</math>

Diese Obergrenze für <math>a_0</math>, ungefähr <math>0{,}56714813...</math>, wird oft als die Smarandache-Konstante bezeichnet. <math>a_0</math> ist Lösung der Gleichung <math>p_{31}^x-p_{30}^x = 127^x-113^x = 1</math>.

2. Die Smarandache-Funktion <math>\mu(n)</math> ist wie folgt definiert:
<math>\mu(n)</math> ist die kleinste natürliche Zahl, für die <math>\mu(n)!</math> durch <math>n</math> teilbar ist.

Ist zum Beispiel der Wert <math>\mu(8)</math> gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, ... zu suchen, die durch 8 teilbar ist; das ist 4!=24=3·8, daher ist <math>\mu(8)=4</math>. Es wurden nun diverse konvergente Reihen untersucht, die die Werte dieser Funktion verwenden. Derartige Grenzwerte werden dann erste, zweite, ... Smarandache-Konstanten genannt.

Smarandache-Konstanten

Die erste Smarandache-Konstante ist definiert durch

<math>s_1=\sum_{n=2}^\infty \frac1{\mu(n)!} = 1{,}093170459...</math>

Deren Konvergenz ist mit <math>\mu(n)\le n</math> und der eulerschen Zahl als Obergrenze leicht einzusehen: <math>\sum \frac1{\mu(n)!}<\sum \frac1{n!}=e</math>.

Die Nachkommastellen bilden Folge A048799 in OEIS.

Die zweite Smarandache-Konstante ist

<math>s_2=\sum_{n=2}^\infty \frac{\mu(n)}{n!} = 1{,}7140062935916...</math>

Für diese ist außerdem beweisen, dass sie irrational ist; sie ist Folge A048834 in OEIS.

Die dritte Smarandache-Konstante ist dann

<math>s_3=\sum_{n=2}^\infty \frac1{\mu(2)\cdot\mu(3)\cdots\mu(n)} =0{,}7199607000437...</math>

Ihre Nachkommastellen ergeben die Folge A048835 in OEIS.

Ferner konvergiert folgende Reihe für alle reellen Zahlen <math>\alpha\ge1</math>:

<math>s_4(\alpha)=\sum_{n=2}^\infty \frac{n^\alpha}{\mu(2)\cdot\mu(3)\cdots\mu(n)}</math>

Die ersten Werte für natürliche <math>\alpha</math>:

<math>\alpha</math> <math>S_4(\alpha)</math>
1 1,7287576053... (Folge A048836 in OEIS)
2 4,5025120061... (Folge A048837 in OEIS)
3 13,011144194... (Folge A048838 in OEIS)

Andere Autoren bewiesen, dass

<math>s_5=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}\mu(n)}{n!}</math>

ebenfalls einen Grenzwert hat. Die nächste Konstante,

<math>s_6=\sum_{n=2}^\infty \frac{\mu(n)}{(n+1)!},</math>

konvergiert gegen einen Wert <math>0{,}218282<s_6<0{,}5</math>.

Allgemeiner konvergieren sogar

<math>s_7=\sum_{n=2}^\infty \frac{\mu(n)}{(n+k)!}\quad\text{und}\quad s_8=\sum_{n=2}^\infty \frac{\mu(n)}{(n-k)!}</math>

für natürliche (bzw. ganze) <math>k\not=0</math>.

Außerdem konvergiert

<math>s_9=\sum_{n=2}^\infty \frac1{\frac{\mu(2)}{2!}+\frac{\mu(3)}{3!}+\cdots+\frac{\mu(n)}{n!}}.</math>

Zwei weitere Reihen sind

<math>s_{10}(\alpha)=\sum_{n=2}^\infty \frac1{\mu(n)^\alpha \sqrt{\mu(n)!}}</math>

und

<math>s_{11}(\alpha)=\sum_{n=2}^\infty \frac1{\mu(n)^\alpha \sqrt{(\mu(n)+1)!}}</math>

Diese konvergieren für alle <math>a>1</math>.

Sei <math>f \colon \N\to\R</math> eine Funktion, für die gilt

<math>f(t)\le\frac c{t^\alpha\cdot d(t!)-d((n-1)!)}</math>

wobei <math>t>0</math> natürlich und <math>\alpha>1,c>12</math> konstant sein sollen; <math>d(n)</math> bezeichne die Anzahl der Teiler von <math>n</math>. Dann gilt:

<math>s_{12}(f)=\sum_{n=1}^\infty f(\mu(n))</math>

ist konvergent.

Außerdem ist auch

<math>s_{13}=\sum_{n=1}^\infty \frac1{\mu(1)!\cdot\mu(2)!\cdots\mu(n)!}</math>

konvergent, ebenso wie

<math>s_{14}(\alpha)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{\mu(n)!\cdot\sqrt{\mu(n)!}\cdot\log\left(\mu(n)\right)^\alpha}</math>

für <math>\alpha>1</math>.

Eine weitere konvergente Reihe ist

<math>s_{15}=\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{\mu(2^n)!}.</math>

Schließlich konvergiert auch

<math>s_{16}(\alpha)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^{\alpha+1}}</math>

für alle <math>\alpha>1</math>.

Referenzen

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Detaillierte Arbeiten sind

  • I.Cojocaru, S. Cojocaru: The First Constant of Smarandache. in: Smarandache Notions Journal 7 (1996) (PDF; 5,4 MB) S. 116–118.
  • dies. ebd. The Second Constant of Smarandache: S. 119–120; und The Third and Fourth Constants of Smarandache: S. 121–126.
  • A.J. Kempner: Miscellanea, in: The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 5 (Mai 1918), S. 201–210. jstor
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