Vermutung von Andrica
Die Vermutung von Andrica, benannt nach Dorin Andrica, ist eine Vermutung zu den Primzahllücken.
Sei <math>p_n</math> die <math>n</math>-te Primzahl. Dann besagt die Vermutung von Andrica, dass folgende Ungleichung für alle natürlichen <math>n</math> gilt:
- <math>\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}<1.</math>
Unter Verwendung der <math>n</math>-ten Primzahllücke <math>g(n):=p_{n+1}-p_n</math> lässt sie sich auch so formulieren:
- <math>g(n)<\sqrt{p_{n+1}} +\sqrt{p_n}.</math>
Werte
Es sei <math>A_n:=\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}</math>.
Empirisch sinken diese Werte asymptotisch für steigendes <math>n</math>, sodass es sehr wahrscheinlich ist, dass die Vermutung stimmt. Für alle <math>A_n</math> mit <math>n<26\cdot10^{10}</math> wurde die Vermutung von H. J. Smith bestätigt<ref name="books-Mlt2O1rR9xIC-PT26">Titu Andreescu: Number Theory. Springer Science & Business Media, 2009, ISBN 978-0-8176-4645-5, S. PT26 ({{#if: Mlt2O1rR9xIC
| {{#if: {{#if: ||1}} {{#if: Mlt2O1rR9xIC ||1}}
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Einige Werte, von denen jeweils vermutet wird, dass sie für größere <math>n</math> nicht mehr übertroffen werden, sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:
| <math>n</math> Folge A084976 in OEIS |
<math>p_n</math> Folge A084974 in OEIS |
<math>A_n</math> Folge A084977 in OEIS |
|---|---|---|
| 4 | 7 | 0,670873 |
| 30 | 113 | 0,639281 |
| 217 | 1327 | 0,463722 |
| 263 | 1669 | 0,292684 |
| 367 | 2477 | 0,260522 |
| 429 | 2971 | 0,256245 |
| 462 | 3271 | 0,244265 |
| 590 | 4297 | 0,228429 |
| 650 | 4831 | 0,215476 |
| 738 | 5591 | 0,213675 |
| … | ||
| 10655462 | 191912783 | 0,008950 |
Numerische Computerberechnungen bestärken die Vermutung; mittlerweile (2005<ref>Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. John Wiley & Sons, 2005, S. 13.</ref>) wurden die Primzahlen bis <math>10^{16}</math> getestet. Ein formaler Beweis konnte dennoch bisher nicht erbracht werden.
Verallgemeinerung
Allgemeiner kann man etwa die Gleichung
- <math>p_{n+1}^x-p_n^x=1</math>
betrachten und nach maximalem bzw. minimalem <math>x</math> suchen, das eine solche Gleichung erfüllt. Die Gleichung hat ihr
- Maximum trivialerweise bei <math>n=1</math>, d. h.
- <math>3^x-2^x=1\qquad\Rightarrow\qquad x=1</math>
- Minimum unter den ersten 1000 Primzahlen (und vermutlich auch allgemein) bei <math>n=30</math>, d. h.
- Dieses <math>a_0</math> wird auch als (die) Smarandache-Konstante bezeichnet.<ref>Sie ist nicht zu verwechseln mit den sechzehn Smarandacheschen Konstanten, die mit der Smarandache-Funktion in Verbindung stehen.</ref>
Daraus entsteht die verallgemeinerte Andricasche Vermutung
- <math>B_n=p_{n+1}^a-p_n^a < 1 \qquad \text{für alle } a<a_0.</math>
Außerdem wird vermutet, dass
- <math>C_n=p_{n+1}^{1/k}-p_n^{1/k} < \frac2k \qquad \text{wobei } k\ge2, k\in\N, n\in \N.</math>
Ähnliche Vermutung
Die Vermutung von Andrica ist eine Verschärfung der Vermutung von Legendre, nach der zwischen jedem <math>n^2</math> und <math>(n+1)^2</math> mindestens eine Primzahl existiert.
Literatur
- Florentin Smarandache: Six Conjectures which Generalize or Are Related to Andrica's Conjecture. In: Octogon. Band 7, Nr. 1, 1999, S. 173–176. Vorlage:ArXiv; vgl.: Perez
Weblinks
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Andrica’s Conjecture. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
- Andrics’s Conjecture, Archivlink abgerufen am 6. November 2022 und Generalized Andrica conjecture auf PlanetMath
- M. L. Perez: Five Smarandache Conjectures on Primes
Einzelnachweise
<references />