Skalenfreies Netz

Skalenfreie oder skaleninvariante Netzwerke oder Netze sind komplexe Netzwerke, deren Anzahl von Verbindungen pro Knoten nach einem Potenzgesetz verteilt sind. Potenzgesetze sind skaleninvariant bezüglich Streckung oder Stauchung des Maßstabes der Variablen.

Datei:Scale-free network deutsch.png

Zufallsnetz und skalenfreies Netz

Der Anteil <math>P(k)</math> an Knoten mit Grad <math>k</math> folgt einem Potenzgesetz

<math>P(k) \propto k^{-\gamma}</math>,

wobei <math>\gamma</math> eine einheitslose positive Zahl ist.

Eine Umskalierung <math>k\rightarrow ak</math> mit einem beliebigen Faktor <math>a</math> führt zu einem proportionalen Potenzgesetz

<math>P(ak)\propto a^{-\gamma}k^{-\gamma}\propto k^{-\gamma}</math>.

Allgemeines

Skalenfreie Netzwerke werden in der Theorie der komplexen Netzwerke untersucht und gelten als relativ ausfallsicher. Die Robustheit solcher Netzwerke besteht allerdings nur bei zufälligen Ausfällen von Knoten. Durch strategisches Vorgehen beim Ausschalten einzelner Knoten, nämlich derjenigen mit hohem Verlinkungsgrad, kann ein skalenfreies Netzwerk schnell in kleine Einzelnetzwerke zerfallen.

Datei:Barabasi Albert model.gif

Animation: Die Wachstumsstufen nach dem skalenfreien Barabási-Albert-Modell

Beispiele für skalenfreie und partiell-skalenfreie Netzwerke sind:

Netz der Zusammenarbeit von Schauspielern in Filmen (<math>\gamma=3</math>), siehe auch Bacon-Zahl
Stromnetz – z. B. der westlichen USA (<math>\gamma=4</math>)
Der Zitationsgraph (Graph von Zitierungen) von wissenschaftlichen Artikeln (k ist die Zahl der erhaltenen Zitationen, <math>\gamma=3</math>)
Verlinkungsgraph der deutschsprachigen Wikipedia

Viele Kleine-Welt-Netzwerke sind auch skalenfrei bzw. umgekehrt, wobei zu beachten ist, dass normale Zufallsgraphen nicht skalenfrei sind (Erdős-Rényi- im Gegensatz zu Barabási-Albert-Netzen).

Albert-László Barabási und Réka Albert schlugen ein vielbeachtetes Modell zur Erzeugung skalenfreier Netzwerke vor (vgl. Barabási-Albert-Modell). Dabei wird mit einer kleinen Anzahl <math>m_0</math> von Knoten begonnen und in jedem Schritt ein weiterer Knoten hinzugefügt. Der neue Knoten wird jeweils mit <math>m</math> bereits vorhandenen Knoten verbunden, wobei die Verbindungswahrscheinlichkeit proportional zur Anzahl von Kanten ist, die ein Knoten bereits besitzt. Dieses Prinzip wird auch als preferential attachment bezeichnet. Es lässt sich zeigen, dass in diesem Modell <math>\gamma</math> gegen den Wert 3 strebt.

Beispiele

Technik

Die Seiten und Hyperlinks im World Wide Web bilden ein skalenfreies Netzwerk. Das World Wide Web wird im Wesentlichen von sehr wenigen verbindungsreichen Knoten (Seiten) zusammengehalten. Mehr als 80 Prozent der Seiten haben weniger als vier Verknüpfungen (Hyperlinks). Wer eine neue Seite ins Internet stellt und sie an andere anbinden möchte, hat im Prinzip die Auswahl unter mehreren Milliarden Adressen. Davon kennen die meisten nur einen winzigen Bruchteil, und zwar vorrangig die Seiten, die man leichter findet, weil sie schon viele Verbindungen haben und oft verlinkt sind.

Ein weiteres Beispiel sind die Router des Internets. Ein neuer Router wird gezielt an einen anderen Router angeschlossen, der bereits Teil des Internets ist. Je älter ein Knoten, z. B. ein Router oder eine Internetseite, ist, desto mehr Gelegenheiten hatte er, sich eine Verbindung zuzulegen. Aus diesem Grund sind tendenziell die Knoten umso verbindungsreicher, je länger sie schon im Netz sind. Im Internet schließt man neue Router bevorzugt an viel benutzte Router an, die typischerweise über eine größere Bandbreite verfügen.<ref name=":0">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Biologie

Die Proteine einer Zelle bilden ein skalenfreies Netz. Dabei werden zwei Proteine als verbunden angesehen, wenn sie miteinander reagieren. Die Backhefe, eine der einfachsten Zellen mit Zellkern, enthält Tausende von Proteinen, die zu einem skalenfreien Netz verknüpft sind. Die meisten von ihnen reagieren lediglich mit einem oder zwei anderen, aber manche binden sich an eine immense Anzahl anderer Proteine.

Auch die Stoffwechselsysteme zwischen Zellen von Organismen bilden skalenfreie Netze.<ref name=":0" />

Gesellschaft

Eine Untersuchung vom Interdisziplinären Zentrum für Bioinformatik der Universität Leipzig ergab, dass das durch elektronische Post geknüpfte Netz skalenfrei ist. Zwischen zwei Menschen besteht eine Verbindung, wenn sie einander eine E-Mail geschrieben haben.

Das Gleiche gilt, wenn als Verbindung unter Wissenschaftlern definiert wird, dass der eine den anderen in einer Veröffentlichung zitiert.

Wissenschaftler der Universitäten in Boston und Stockholm untersuchten das Netz der Sexualkontakte zwischen Menschen und fanden auch hier eine Verteilung nach dem Potenzgesetz.

Auch die Verbindungen zwischen Unternehmen gehören zu einem skalenfreien Netz. Als Verbindung zählt dabei eine Kooperationsvereinbarung oder Lizenzvereinbarung. Um das nachzuweisen, analysierten Forscher aus den USA und aus Italien Datenbanken für die biotechnologische und die chemische Industrie.<ref name=":0" />

Gegenbeispiele

Die Analyse von fast 1000 Datensätzen aus verschiedenen Bereichen ergab, dass nur 4 Prozent der Netzwerke die stärksten Anzeichen einer skalenfreien Struktur aufweisen, während 52 Prozent lediglich die schwächsten Anzeichen zeigten. Soziale Netzwerke erwiesen sich bestenfalls als schwach skalenfrei, während einige wenige technologische und biologische Netzwerke als stark skalenfrei bezeichnet werden können. In den meisten Fällen passten logarithmische Normalverteilungen genauso gut oder sogar besser zu den Daten dieser Netzwerke als Potenzgesetze.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:Anna D. Broido, Aaron Clauset|Anna D. Broido, Aaron Clauset: }}{{#if:|{{#if:Scale-free networks are rare|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Scale-free networks are rare}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://arxiv.org/abs/1801.03400v1%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Scale-free networks are rare}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://arxiv.org/abs/1801.03400v1}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Scale-free networks are rare}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:2018-01-09{{#if: 2026-04-20 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Bei 67 Prozent der Netzwerke, darunter soziale Netzwerke, Nahrungsnetze und Wasserverteilungsnetze, widerlegten die statistischen Tests ein Potenzgesetz als plausible Beschreibung der Netzwerkstruktur. Diese Ergebnisse widerlegen die Universalität skalenfreier Netzwerke und zeigen, dass reale Netzwerke eine große strukturelle Vielfalt aufweisen. Aaron Clauset hat herausgefunden, dass skalenfreie Netzwerke entgegen der gängigen Annahme in der Natur selten sind. Befürworter der skalenfreien Sichtweise, von denen viele über die Physik zur Netzwerkforschung gekommen sind, argumentieren, dass Skalenfreiheit als idealisiertes Modell gedacht ist und nicht das Verhalten realer Netzwerke präzise beschreibt.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:Erica Klarreich|Erica Klarreich: }}{{#if:|{{#if:Scant Evidence of Power Laws Found in Real-World Networks|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Scant Evidence of Power Laws Found in Real-World Networks}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.quantamagazine.org/scant-evidence-of-power-laws-found-in-real-world-networks-20180215/%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Scant Evidence of Power Laws Found in Real-World Networks}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.quantamagazine.org/scant-evidence-of-power-laws-found-in-real-world-networks-20180215/}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Scant Evidence of Power Laws Found in Real-World Networks}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Quanta Magazine2018-02-15{{#if: 2026-04-20 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Verallgemeinerungen

Viele Netzwerkwahrscheinlichkeiten, z. B. finanzielle Verteilungen, bestehen aus nicht-Gauß’schen Verteilungen mit skalenfreien Ausläuferbereichen (sog. „fat tails“), die das erhöhte Risiko für extreme Gewinne bzw. Verluste quantifizieren.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if: | {{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool | Vorlage:Toter Link/archivebot | Vorlage:Webarchiv/archiv-bot }}

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  }}</ref> Bei Gaußverteilungen, mit denen die üblichen Standardbeispiele für Zufallsprozesse formuliert werden, fallen diese extremen Risikobereiche weg.

Im Barabási-Albert-Modell ist die Wichtigkeit eines Knotens proportional zur Anzahl der mit ihm verbundenen Knoten, d. h. zum ersten Knotengrad. Es wird jedoch nicht berücksichtigt, ob diese verbundenen Knoten wichtig sind oder nicht. Ein Knoten mit drei isolierten Nachbarn wird als genauso wichtig eingestuft wie ein Knoten, der drei Hubs angrenzt. Dies steht im Widerspruch zu vielen realen Szenarien, beispielsweise in akademischen Kooperationsnetzwerken, wo bekannt ist, dass Nachwuchswissenschaftler, die unter der Leitung von Spitzenwissenschaftlern arbeiten, die größten Erfolgschancen haben und eher eine Festanstellung erreichen.

Im k2-Modell wird dieser Effekt berücksichtigt, sodass Knoten von der Verbindung mit Hub-Knoten profitieren und selbst zu Hubs werden können. Das Prinzip der Gewichtung der Nachbarwichtigkeit spiegelt die Rolle von „Freunden von Freunden“ in der Theorie sozialer Netzwerke wider.

Mathematisch definiert man den Anbindungskern als die Funktion, die die Wahrscheinlichkeit der Anbindung an einen bestimmten Knoten im Netzwerk angibt. Im Barabási-Albert-Modell ist <math>\Pi^{BA} \propto k^{(1)}</math>, im k2-Modell ist hingegen <math>\Pi^{(k2)} \propto k^{(2)}</math>. Im Fall des k2-Modells lässt sich die normalisierte Form des Anbindungskerns wie folgt schreiben:

<math>\Pi_i^{(k2)} = \frac{k_i^{(2)}}{\sum_{j=1}^{N} k_j^{(2)}} \approx \frac{k_i^{(2)}}{\sum_{j=1}^{N} \left(k_j^{(1)}\right)^2}</math>

Indem der Zähler des Anbindungskerns in den Beitrag der Nachbarn ersten Grades zum Knoten i und den Beitrag der übernächsten Nachbarn aufgeteilt wird, kann die Gleichung umgeformt werden:

<math>\Pi_i^{(k2)} \approx \frac{k_i^{(1)} + \sum_{\alpha=1}^{k_i^{(1)}} \left(k_{i \cdot \alpha}^{(1)} - 1\right)}{\sum_{j=1}^{N} \left(k_j^{(1)}\right)^2}</math>

was nur eine Funktion des ersten Nachbargrades ist, wobei folgende Gleichung verwendet wurde

<math>k_i^{(2)} = \sum_{\alpha=1}^{k_i^{(1)}} k_{i \cdot \alpha}^{(1)}</math>

Hierbei bezeichnet <math>\alpha</math> die <math>k_i^{(1)}</math> eindeutigen ersten Nachbarn des Knotens <math>i</math>, und <math>k_{i \cdot \alpha}^{(1)}</math> ist der erste Grad des mit Knoten <math>i</math> verbundenen Knotens <math>\alpha</math>. In der ersten Gleichung gibt der erste Term den Beitrag der direkten Nachbarn des Knotens <math>i</math> zum Anbindungskern an, und der zweite Term den Beitrag der übernächsten Nachbarn des Knotens <math>i</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Siehe auch

Literatur

Albert-László Barabási, Eric Bonabeau: Skalenfreie Netze. In: Spektrum der Wissenschaft. Juli 2004, S. 62–69.
Albert-László Barabási, Réka Albert: Emergence of Scaling in Random Networks. In: Science. Vol. 286, 15, Oktober 1999 (PDF; 98 kB) {{#invoke:Vorlage:Handle|f|scheme=doi|class=plainlinks|parProblem=Problem|errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:DOI|errClasses=error editoronly|errHide=1|errNS=0 4 10 100}}.
Albert-László Barabási: Linked. How everything is connected to everything else and what it means for business, science, and everyday life. Plume, New York NY 2003, ISBN 0-452-28439-2.
Paul Erdős, Alfréd Rényi: On the evolution of random graphs. In: Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences. Vol. 5, 1960, S. 17–61 online (PDF; 5,42 MB).
Anna D. Broido & Aaron Clauset: Scale-free networks are rare. Nature Communications volume 10, Article number: 1017 (2019). doi.org/10.1038/s41467-019-08746-5.

Einzelnachweise