Sierpinski-Kurve

Sierpiński-Kurve 1. Ordnung

Sierpiński-Kurven
1. und 2. Ordnung

Sierpiński-Kurven
1. bis 3. Ordnung

Die Sierpiński-Kurven sind eine rekursiv definierte Folge von stetigen geschlossenen fraktalen Kurven. Die Sierpiński-Kurve ist ein Beispiel für eine raumfüllende Kurve, die im Übergang <math>n \rightarrow \infty </math> das Einheitsquadrat vollständig ausfüllt. Sie wurden 1912 vom polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński definiert.

Eigenschaften

Der Grenzwert der von der Sierpiński-Kurve umschlossenen Fläche ist <math> 5 \over 12 </math> (in euklidischer Metrik).
Die euklidische Länge der Kurve <math> S_n </math> wächst exponentiell mit <math> n </math>: <math> l_n = \frac{2}{3} (1+\sqrt 2) 2^n - \frac{1}{3} (2-\sqrt 2) \frac{1}{2^n} </math>.
Da die Kurve raumfüllend ist, hat sie im Grenzwert die Hausdorff-Dimension <math> 2 </math>.

Weblinks

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{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Sierpinski-Kurve. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Interaktive Demonstration der Sierpinski-Kurve.