Schilow-Rand

Der Schilow-Rand (nach Georgi Schilow, nach englischer Transkription auch Shilov-Rand) ist ein mathematisches Konzept aus der Theorie der kommutativen <math>\Complex</math>-Banachalgebren. Damit wird eine Version des aus der Funktionentheorie bekannten Maximumprinzips auf kommutative Banachalgebren übertragen.

Motivation

Der Einfachheit beschränken wir uns auf kommutative Algebren mit Einselement. Es seien <math>X</math> ein kompakter Hausdorffraum und <math>A\subset C(X)</math> eine Unteralgebra der Banachalgebra <math>C(X)</math> der stetigen Funktionen <math>X\rightarrow \Complex</math> mit folgenden Eigenschaften:

<math>1\in A</math>, das heißt <math>A</math> enthält die konstante Funktion 1,
<math>\forall x\not=y \in X: \exists a\in A: a(x) \not= a(y)</math>, das heißt <math>A</math> trennt die Punkte von <math>X</math>

Man sagt dann kurz, <math>A</math> sei eine Funktionenalgebra auf <math>X</math>.

Eine abgeschlossene Teilmenge <math>E\subset X</math> heißt maximierend (für <math>A</math>), falls für alle Funktionen <math>a\in A</math> Folgendes gilt: <math> \sup\{|a(x)|; x\in X\} = \sup\{|a(x)|; x\in E\}</math>.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22, Definition 1</ref>

Ist zum Beispiel <math>X=\mathbb{D}:=\{z\in \Complex;\, |z|\le 1\}</math> die Kreisscheibe und <math>A</math> die Diskalgebra, das heißt die Algebra aller stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{D}</math>, die im Inneren <math>\mathbb{D}^\circ</math> holomorph sind, so ist wegen des Maximumprinzips der Funktionentheorie jede abgeschlossene Teilmenge, die den Rand <math>\partial \mathbb{D}</math> enthält, eine maximierende Menge. Insbesondere ist <math>\partial \mathbb{D}</math> die kleinste maximierende Menge.

Schilow-Rand für Funktionenalgebren

Das Beispiel der Diskalgebra verallgemeinert sich zu folgendem auf Schilow zurückgehenden Satz:

Sind <math>X</math> ein kompakter Hausdorffraum und <math>A</math> eine Funktionenalgebra auf <math>X</math>, so ist der Durchschnitt aller maximierenden Mengen für <math>A</math> nicht leer und wieder maximierend.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22, Theorem 3</ref>

Insbesondere gibt es also eine kleinste maximierende Menge. Diese nennt man den Schilow-Rand der Funktionenalgebra <math>A</math>, übliche Bezeichnungen sind <math>S(A), \check{S}(A)</math> oder <math>\partial A</math>. Da maximierende Mengen Ränder sind, ist auch der Schilow-Rand ein Rand.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22, Definition 4</ref>

Schilow-Rand für kommutative Banachalgebren

Sei <math>A</math> eine kommutative <math>\Complex</math>-Banachalgebra mit Einselement. Der Gelfand-Raum <math>X_A</math> ist bekanntlich ein kompakter Hausdorffraum und die Gelfand-Transformation <math>A\rightarrow C(X_A)</math> bildet <math>A</math> auf eine Funktionenalgebra <math>\hat{A}</math> auf <math>X_A</math> ab. Der Schilow-Rand der Funktionenalgebra <math>\hat{A}</math> wird Schilow-Rand von <math>A</math> genannt und ebenfalls mit <math>S(A), \check{S}(A)</math> oder <math>\partial A</math> bezeichnet.

Beispiele

Der Gelfand-Raum der Diskalgebra <math>A</math> ist die Menge der Punktauswertungen <math>\delta_z:A\rightarrow \Complex,\, a\mapsto \delta_z(a) := a(z)</math> und die Abbildung <math>\mathbb{D}\rightarrow X_A,\,z\mapsto \delta_z</math> ist ein Homöomorphismus. Identifiziert man <math>\mathbb{D}</math> mittels dieses Homöomorphismus mit <math>X_A</math>, so <math>A=\hat{A}</math> und es ist <math>\partial A = \partial \mathbb{D}</math>.
Sei <math>X:=\{(z,w)\in\Complex^2;\, |z|\le1, |w|\le 1\}</math> der Bizylinder mit Radius <math>(1,1)</math>. <math>A</math> sei die von allen Polynomen in zwei Variablen erzeugte Unter-Banachalgebra von <math>C(X)</math>. Man kann zeigen, dass der Gelfand-Raum von <math>A</math> die Menge der Punktauswertungen <math>\delta_x:A\rightarrow \Complex, a\mapsto a(x)</math> für <math>x\in X</math> ist und dass <math>X\rightarrow X_A, x\mapsto \delta_x</math> eine Homöomorphismus ist. Man kann also wie oben <math>X</math> mit <math>X_A</math> identifizieren. Dann kann man zeigen, dass <math>\partial A = \{(z,w)\in X;\, |z|=1=|w|\}</math>. In diesem Fall ist der Schilow-Rand kleiner als der topologische Rand von <math>X</math> in <math>\Complex^2</math>.
Ist <math>X</math> ein kompakter Hausdorffraum und <math>A=C(X)</math>, so ist <math>\partial A = X_A</math>.

Bemerkungen

Ist <math>A</math> eine kommutative <math>\Complex</math>-Banachalgebra mit Einselement, so gilt für die Gelfand-Transformierte <math>\hat{a}:X_A\rightarrow \Complex</math>, dass <math>\sup\{|\hat{a}(\varphi)|;\,\varphi \in X_A\} \,=\, \sup\{|\hat{a}(\varphi)|;\,\varphi \in \partial A\}</math>. Das folgt direkt aus den Definitionen, denn <math>\partial A</math> ist eine maximierende Menge der Funktionenalgebra <math>\hat{A}</math>. Die Gelfand-Transformierten erfüllen damit ein Maximumprinzip bzgl. des Schilow-Randes. Darüber hinaus gilt folgende lokale Version des Maximumprinzips:<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22, Theorem 11</ref>

Ist <math>U\subset X_A\setminus \partial A</math> offen, so gilt für alle <math>a\in A</math> und <math>\varphi \in U</math>, dass <math>\textstyle |\hat{a}(\varphi)| \le \sup_{\psi \in \partial U}|\hat{a}(\psi)|</math>.

Der Choquet-Rand ist stets als dichte Teilmenge im Schilow-Rand enthalten.<ref>Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Korollar 9.4.1</ref>

Bekanntlich gilt für das Spektrum <math>\sigma(a)</math> von <math>a\in A</math> die Formel <math>\sigma(a)=\hat{a}(X_A)</math>. Bezüglich der Ränder der Spektren gilt die Formel <math>\partial \sigma(a) \subset \hat{a}(\partial A)</math>.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22, Satz 7</ref>

Einzelnachweise