Diskalgebra

Die Diskalgebra (manchmal auch Discalgebra) ist eine in den mathematischen Teilgebieten Funktionalanalysis und Funktionentheorie betrachtete Algebra. Viele funktionalanalytische Eigenschaften der Diskalgebra sind direkte Folgen funktionentheoretischer Sätze.

Definition

Bezeichnet <math>\mathbb{D}:=\{z\in \Complex;\, |z|\le 1\}</math> die Kreisscheibe, so sei <math>A(\mathbb{D})</math> die Menge aller stetigen Funktionen <math>f:\mathbb{D}\rightarrow \Complex</math>, die im Inneren <math>\mathbb{D}^\circ</math> holomorph sind.

Die Definitionen

<math>\begin{array}{rcl}(\lambda f)(z) &:=& \lambda f(z) \\ (f+g)(z) &:=& f(z)+g(z)\\ (fg)(z) &:=& f(z)g(z)\\ (f^*)(z) &:=& \overline{f(\overline{z})}\\ \end{array}</math>,

wobei <math>\lambda\in \Complex, z\in \mathbb{D}, f,g \in A(\mathbb{D})</math>, machen <math>A(\mathbb{D})</math> zu einer komplexen Algebra mit Involution <math>*</math>. Diese wird Diskalgebra genannt.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.16</ref>

Offenbar ist <math>A(\mathbb{D})</math> eine Unteralgebra der Funktionenalgebra <math>C(\mathbb{D})</math> der stetigen Funktionen <math>\mathbb{D}\rightarrow \Complex</math>. Die Diskalgebra <math>A(\mathbb{D})</math> ist bezüglich der Maximumsnorm, die <math>C(\mathbb{D})</math> zu einer Banachalgebra macht, abgeschlossen, denn nach dem weierstraßschen Konvergenzsatz sind gleichmäßige Limiten holomorpher Funktionen ebenfalls holomorph. Der Funktionenraum <math>A(\mathbb{D})</math> ist daher selbst eine Banachalgebra, sogar mit isometrischer Involution, das heißt, es gilt <math>\|f^*\| = \|f\|</math> für alle <math>f\in A(\mathbb{D})</math>. Die Diskalgebra ist auch Unterbanachalgebra von <math>H^{\infty}</math>, der Banachalgebra aller auf <math>\mathbb{D}^\circ</math> holomorphen und beschränkten Funktionen mit der Supremumsnorm.

Mittels Einschränkung auf den Rand <math>\partial \mathbb{D}</math> von <math>\mathbb{D}</math> erhält man eine Abbildung <math>A(\mathbb{D})\rightarrow C(\partial \mathbb{D}), \, f\mapsto f|_{\partial \mathbb{D}}</math>. Diese Abbildung ist nach dem Maximumprinzip für holomorphe Funktionen ein isometrischer Homomorphismus. In diesem Sinne kann man <math>A(\mathbb{D})</math> auch als Unterbanachalgebra von <math>C(\partial \mathbb{D})</math> auffassen, das heißt die Diskalgebra wird zu einer uniformen Algebra über <math>{\partial \mathbb{D}}</math>. <math>A(\mathbb{D})</math> ist dann die Menge aller stetigen Funktionen auf <math>\partial \mathbb{D}</math>, die sich holomorph nach <math>\mathbb{D}^\circ</math> fortsetzen lassen. Dies wäre eine alternative Definition der Diskalgebra.

Die Diskalgebra wird von <math>\mathrm{id}_\mathbb{D}</math> erzeugt, das heißt, die kleinste Unterbanachalgebra, die diese Funktion enthält, ist die Diskalgebra selbst.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §19.3</ref>

Der Gelfandraum

Für jedes <math>z\in \mathbb{D}</math> ist die Punktauswertung <math>\delta_z:A(\mathbb{D})\rightarrow \Complex,\, f\mapsto f(z)</math> ein Homomorphismus und damit ein Element des Gelfand-Raums <math>X_{A(\mathbb{D})}</math> der Diskalgebra. Man kann zeigen, dass mit den <math>\delta_z</math> bereits alle Homomorphismen der Diskalgebra mit Werten in den komplexen Zahlen gefunden sind, und dass die Abbildung <math>\delta \colon \mathbb{D}\rightarrow X_{A(\mathbb{D})},\, z\mapsto \delta_z</math> ein Homöomorphismus ist, wobei die sogenannte Gelfandtopologie durch die relative schwach-*-Topologie auf <math>X_a\subset A^\prime</math> gegeben ist. Der Gelfandraum der Diskalgebra kann daher mit der Kreisscheibe identifiziert werden. Bei dieser Identifikation ist die Gelfand-Transformation die Identität auf der Diskalgebra.

Die Nicht-Regularität der Diskalgebra

Auf dem Gelfandraum <math>X_A</math> einer kommutativen Banachalgebra betrachtet man die sogenannte Hülle-Kern-Topologie, die durch die Abschlussoperation

<math>\overline{E} := \{\delta\in X_A;\, \ker(\delta) \supset \bigcap_{\varphi\in E}\ker(\varphi)\} </math>

gegeben ist. Fällt diese mit der Gelfandtopologie zusammen, so nennt man die Banachalgebra regulär. Die Diskalgebra ist ein Beispiel für eine nicht-reguläre Banachalgebra.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §23.9</ref> In der Tat ist bei der Identifikation <math>X_{A(\mathbb{D})} = \mathbb{D}</math> die Menge <math>E:= \{0\} \cup \{\tfrac{1}{n};\, n\in \N\}</math> abgeschlossen in der Gelfandtopologie. Ist nun <math>\textstyle f\in\bigcap_{n\in \N}\ker(\delta_{\frac{1}{n}})</math>, so folgt <math>f(\tfrac{1}{n})=0</math> für alle <math>n</math>, und aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen folgt <math>f=0</math>. Daher ist <math>\textstyle \bigcap_{\varphi\in E}\ker(\varphi) = \{0\}</math> und es folgt <math>\overline{E}=X_A</math> bezüglich der Hülle-Kern-Topologie, letztere kann daher nicht mit der Gelfandtopologie übereinstimmen.

Der Schilowrand

Identifiziert man <math>X_{A(\mathbb{D})}</math> mit <math>\mathbb{D}</math>, so fällt der topologische Rand <math>\partial \mathbb{D}=\{z\in \Complex;\, |z|= 1\}</math> mit dem Schilow-Rand zusammen. Dazu ist zu zeigen, dass jede Funktion der Diskalgebra, die wegen der vorgenommenen Identifikation ja mit ihrer Gelfand-Transformierten übereinstimmt, ihr Betragsmaximum auf dem Rand der Kreisscheibe annimmt, aber das ist genau die Aussage des Maximumprinzips für holomorphe Funktionen.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22.5 für n=1</ref>

Maximalität

Wie oben erwähnt kann man <math>A(\mathbb{D})</math> mittels der Einschränkungsabbildung <math>f\mapsto f|_{\partial \mathbb{D}}</math> als Unterbanachalgebra von <math>C(\partial \mathbb{D})</math> auffassen. Der Maximalitätssatz von Wermer sagt aus, dass <math>A(\mathbb{D}) \subset C(\partial \mathbb{D})</math> eine maximale Unterbanachalgebra ist.

Einzelnachweise