Satz von Schoenflies

Der im Jahre 1908 von Arthur Schoenflies bewiesene Satz von Schoenflies bildet ein wesentliches Bindeglied zwischen der Topologie und dem kombinatorischen Problem des Kartenfärbens (Vier-Farben-Satz). Anschaulich besagt er: Malt man eine geschlossene Kurve (ohne Überkreuzungen) auf ein Gummituch, dann kann man das Tuch so verziehen, dass aus der Kurve ein Kreis wird.

Satz

Es sei <math>K\subset\mathbb R^2</math> eine geschlossene Jordankurve und <math>S^1\subset\mathbb R^2</math> bezeichne den Einheitskreis. Dann lässt sich jeder Homöomorphismus <math>h \colon K \to S^1</math> zu einem Homöomorphismus <math>H \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> fortsetzen.

Höhere Dimensionen

Die unmittelbare Verallgemeinerung des Satzes von Schoenflies auf höhere Dimensionen gilt nicht, da in drei Dimensionen Alexanders Sphäre (siehe<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> und Weblink) ein Gegenbeispiel bietet.

Dagegen hat Morton Brown den Satz wie folgt verallgemeinert: Wird eine <math>(n-1)</math>-dimensionale Sphäre <math>S</math> lokal flach in eine <math>n</math>-dimensionale Sphäre <math>S^n</math> eingebettet, so ist das Paar <math>(S^n,S)</math> homöomorph zu <math>(S^n,S^{n-1})</math>, wobei <math>S^{n-1}</math> der Äquator der <math>n</math>-Sphäre ist. (Dabei heißt eine Einbettung <math>i:S^{n-1}\rightarrow S^n</math> lokal flach, wenn es eine Einbettung <math>S^{n-1}\times \left[0,1\right]\rightarrow S^n</math> gibt, die auf <math>S^{n-1}\times\left\{0\right\}=S^{n-1}</math> mit <math>i</math> übereinstimmt.)

Dies gilt insbesondere für differenzierbar eingebettete Sphären, wo das Resultat als Satz von Mazur bekannt ist.

Folgerung

Der Satz von Schoenflies zieht unmittelbar den Jordanschen Kurvensatz nach sich: Die beiden disjunkten Gebiete, in die   <math>\R^2 \setminus K </math>   zerlegt wird, sind gerade  <math>H^{-1}(\{x\in \R^2 : \|x\|_2 < 1\})</math>  (das beschränkte Gebiet) und  <math>H^{-1}(\{x\in \R^2 : \|x\|_2 > 1\})</math>  (das unbeschränkte Gebiet).<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Literatur

• Morton Brown: A proof of the generalized Schoenflies theorem. In: Bulletin of the American Mathematical Society, 66, 1960, {{#invoke:URIutil|{{#ifeq:1|1|linkISSN|targetISSN}}|0002-9904|0}}{{#ifeq:1|0|[!]

}}{{#ifeq:0|1

        |{{#switch:00
                  |11= (print/online)
                  |10= (print)
                  |01= (online)
          }}

}}{{#ifeq:0|0

        |{{#ifeq:0|0
              |{{#if:{{#invoke:URIutil|isISSNvalid|1=0002-9904}}
                    |
                    |{{#invoke:TemplUtl|failure|ISSN ungültig}}}}}}

}}, S. 74–76, ams.org (PDF; 280 kB)

• {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
• {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}

Weblinks

• {{#if: Eric Weisstein | Eric Weisstein | Eric W. Weisstein }}: Schoenflies Theorem. In: MathWorld (englisch). {{#if: SchoenfliesTheorem | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | SchoenfliesTheorem | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
• Alexanders „gehörnte Sphäre“ in der englischsprachigen Wikipedia

Einzelnachweise

<references />