Satz von Mertens (Cauchy-Produkt)
Der Satz von Mertens (nach Franz Mertens) ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Analysis, der eine Aussage über die Konvergenz eines Cauchy-Produkts zweier Reihen liefert.
Formulierung
Sind <math>\textstyle A=\sum_{k=0}^\infty a_k</math> und <math>\textstyle B=\sum_{k=0}^\infty b_k</math> konvergente Reihen, wobei mindestens eine der beiden absolut konvergiert, so konvergiert das Cauchy-Produkt <math>\textstyle \sum_{k=0}^\infty c_k</math>, wobei <math>\textstyle c_k=\sum_{j=0}^k a_j b_{k-j}</math> ist, gegen <math>AB</math>.
Beweis
Ohne Einschränkung sei <math>A</math> die absolut konvergente Reihe. Zu zeigen ist nun, dass die Partialsumme <math>\textstyle S_n=\sum_{k=0}^n c_k</math> gegen <math>AB</math> konvergiert.
Im Folgenden sei <math>\textstyle A_n:=\sum_{k=0}^n a_k</math> und <math>\textstyle B_n=\sum_{k=0}^n b_k</math>.
- <math>AB</math> lässt sich schreiben als <math>\textstyle (A-A_n)B+\sum_{k=0}^n a_k B</math>
- <math>S_n</math> lässt sich schreiben als <math>\textstyle \sum_{k=0}^n a_k B_{n-k}</math>
Die Differenzbildung 1.- 2. ergibt
- <math>AB-S_n=(A-A_n)B+\sum_{k=0}^n a_k (B-B_{n-k})</math>
Dabei konvergiert <math>(A-A_n)B</math> gegen Null und mit <math>N:=\left\lfloor \tfrac{n}{2} \right\rfloor</math> lässt sich letzte Reihe aufspalten zu
- <math>\underbrace{\sum_{k=0}^N a_k (B-B_{n-k})}_{=P_n}+\underbrace{\sum_{k=N+1}^n a_k (B-B_{n-k})}_{=Q_n}\,.</math>
Es gilt
- <math>|P_n|\le \sum_{k=0}^N |a_k|\cdot |B-B_{n-k}|\le \max_{N\le k\le n} |B-B_k|\, \sum_{k=0}^N |a_k|\to 0\,,</math>
denn letzter Ausdruck ist ein Produkt von einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge. Da die Nullfolge <math>(B-B_k)</math> beschränkt sein muss, gibt es ein <math>C>0</math> mit <math>|B-B_k|<C \quad \forall k\in\N</math>. Daher ist
- <math>|Q_n|\le \sum_{k=N+1}^n |a_k|\cdot |B-B_{n-k}|\le C \sum_{k=N+1}^n |a_k|\to 0</math>
nach dem Cauchy-Kriterium. Also gilt <math>AB-S_n\to 0</math>, woraus unmittelbar <math>S_n\to AB</math> folgt.
Das Cauchy-Produkt unter bedingter Konvergenz
Sind beide Ausgangsreihen nur bedingt konvergent, dann muss das Cauchy-Produkt nicht konvergieren, wie das Beispiel<ref>Konrad Königsberger: Analysis 1 – 5. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41282-4; S. 74 (Ende von Abschnitt 6.3)</ref> zeigt: Das Cauchy-Produkt der Reihen <math>A, B</math> mit <math>a_k = b_k = \tfrac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}</math> konvergiert nicht, siehe Cauchy-Produktformel#Eine divergente Reihe.
Hardy<ref>The Multiplication of Conditionally Convergent Series, G. H. Hardy, Proceedings of the London Mathematical Society, Volume s2-6, Issue 1, 1908, Pages 410–423, doi:10.1112/plms/s2-6.1.410</ref> zeigte allerdings, dass das Cauchy-Produkt auch für zwei nur bedingt konvergente Reihen konvergiert, wenn die Folgen <math>a_k\cdot k</math> und <math>b_k\cdot k</math> beschränkt sind. Für die bekanntermaßen nicht absolut konvergenten Ausgangsreihen
- <math>A=B=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{2n+1}</math>
mit Wert <math>\tfrac{\pi}{4}</math> ist das Cauchy-Produkt also konvergent mit Wert <math>\tfrac{\pi^2}{16}</math>.
Einzelnachweise
<references />