Cauchy-Produktformel

Die Cauchy-Produktformel, auch Cauchy-Produkt oder Cauchy-Faltung, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy gestattet die Multiplikation unendlicher Reihen. Dabei handelt es sich um eine diskrete Faltung.

Definition

Sind <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> und <math>\sum_{n=0}^\infty b_n</math> zwei absolut konvergente Reihen, dann ist die Reihe

<math>\sum_{n=0}^\infty c_n</math> mit <math>c_n = \sum_{k=0}^n {a_{k} b_{n-k}}=\sum_{i+j=n}a_i b_j</math>

ebenfalls eine absolut konvergente Reihe und es gilt

<math>\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n.</math>

Die Reihe <math>\sum_{n=0}^\infty c_n</math> wird Cauchy-Produkt der Reihen <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> und <math>\sum_{n=0}^\infty b_n</math> genannt. Die Koeffizienten <math>c_n</math> können als diskrete Faltung der Vektoren <math>(a_0,a_1,\dots,a_n)</math> und <math>(b_0, b_1,\dots,b_n)</math> aufgefasst werden.

Schreibt man diese Formel aus, so erhält man:

<math>\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \underbrace{(a_0 b_0)}_{c_0} + \underbrace{(a_0 b_1 + a_1 b_0)}_{c_1} + \underbrace{(a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0)}_{c_2} + ... + \underbrace{(a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + ... + a_k b_{n-k} + ... + a_n b_0)}_{c_n} + ...</math>

Bricht man diese Reihe bei einem gewissen Wert von <math>n</math> ab, so erhält man eine Näherung für das gesuchte Produkt.

Speziell für die Multiplikation von Potenzreihen gilt

<math>\left(\sum_{n=0}^\infty \alpha_n {(x-x_0)}^n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty \beta_n {(x-x_0)}^n\right) = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n {\alpha_{k} \beta_{n-k}}\right)(x-x_0)^n.</math>

Beispiele

Anwendung auf die Exponentialfunktion

Als Anwendungsbeispiel soll gezeigt werden, wie sich die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion aus der Cauchy-Produktformel herleiten lässt. Die Exponentialfunktion <math>\textstyle e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> konvergiert bekanntlich absolut. Daher kann man das Produkt <math>e^xe^y</math> mittels des Cauchy-Produktes berechnen und erhält

<math>e^xe^y = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}\cdot \sum_{n = 0}^\infty \frac{y^n}{n!} = \sum_{n = 0}^\infty \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\frac{1}{(n-k)!}x^ky^{n-k}</math>

Nach Definition des Binomialkoeffizienten <math>\textstyle {n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> kann man das weiter umformen als

<math> = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}x^ky^{n-k} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}(x+y)^n = e^{x+y}</math>

wobei das vorletzte Gleichheitszeichen durch den binomischen Lehrsatz gerechtfertigt ist.

Eine divergente Reihe

Es soll das Cauchy-Produkt

<math>\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\right)</math>

einer nur bedingt konvergenten Reihe mit sich selbst gebildet werden.

Hier gilt

Mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel <math>\sqrt{ab} \leq \tfrac{1}{2}(a+b)</math> angewendet auf die Wurzel im Nenner folgt

Da die <math>c_n</math> somit keine Nullfolge bilden, divergiert die Reihe <math>\sum_{n=0}^\infty c_n.</math>

Berechnung der inversen Potenzreihe

Mit Hilfe der Cauchy-Produktformel kann die Inverse einer Potenzreihe mit reellen oder komplexen Koeffizienten berechnet werden. Wir setzen hierfür <math>f (z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n </math> und <math> \frac{1}{f(z)}=\sum_{m=0}^\infty b_mz^m</math>. Die Koeffizienten <math> b_m </math> berechnen wir mithilfe von:

<math> 1= f(z)\cdot\frac{1}{f(z)}=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\sum_{m=0}^\infty b_mz^m=\sum_{r=0}^\infty\left(\sum_{l=0}^r a_lb_{r-l}\right)\cdot z^r\ </math>,

wobei wir im letzten Schritt die Cauchy-Produktformel verwendet haben. Mit einem Koeffizientenvergleich folgt daraus:

<math> r=0:\ a_0b_0=1\Rightarrow b_0=\frac{1}{a_0}\ .</math>

<math> r=1:\ a_0b_1+a_1b_0=0\Rightarrow b_1=-\frac{a_1b_0}{a_0} = -\frac{a_1}{a_0^2} .</math>

<math> r=2:\ a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0=0\Rightarrow b_2=-\frac{a_1b_1}{a_0}-\frac{a_2b_0}{a_0}=\frac{a_1^2}{a_0^3}-\frac{a_2}{a_0^2} .</math>

<math> r=3:\ a_0b_3+a_1b_2+a_2b_1+a_3b_0=0\Rightarrow b_3=-\frac{a_1b_2}{a_0}-\frac{a_2b_1}{a_0}-\frac{a_3 b_0}{a_0}=-\frac{a_1^3}{a_0^4}+\frac{2a_2a_1}{a_0^3}-\frac{a_3}{a_0^2} .</math>

Zur Vereinfachung und o. B. d. A. setzen wir <math>a_0=1</math> und finden <math> \frac{1}{f(z)}=1-a_1z+(a_1^2-a_2)z^2+(-a_1^3+2a_1a_2-a_3)z^3+\dots=\sum_{i=0}^\infty (-1)^i\cdot\left(\sum_{n=1}^\infty a_nz^n\right)^i</math>.

Verallgemeinerungen

Nach dem Satz von Mertens ist es schon ausreichend zu fordern, dass mindestens eine der beiden konvergenten Reihen absolut konvergiert, damit ihr Cauchy-Produkt konvergiert (nicht notwendigerweise absolut) und sein Wert das Produkt der gegebenen Reihenwerte ist.

Konvergieren beide Reihen nur bedingt, so kann es sein, dass ihr Cauchy-Produkt nicht konvergiert, wie obiges Beispiel zeigt. Wenn in diesem Fall jedoch das Cauchy-Produkt konvergiert, dann stimmt sein Wert nach einem Satz von Abel mit dem Produkt der beiden Reihenwerte überein.

Literatur

Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4