Abelscher Grenzwertsatz

Der Abelsche Grenzwertsatz ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der Analysis. Er beschreibt, unter welchen Bedingungen sich eine als Potenzreihe definierte Funktion stetig auf die Ränder des Konvergenzintervalls fortsetzen lässt, und lautet wie folgt:

Sei <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> eine konvergente Reihe reeller Zahlen. Dann konvergiert die Potenzreihe <math> \sum_{n=0}^\infty a_n x^n </math> auf dem Intervall <math>[0,1]</math> und die durch sie definierte Funktion <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n </math> ist stetig auf <math>[0,1]</math> mit <math>f(1)=\sum_{n=0}^\infty a_n </math>.

Anwendung

Die Umkehrfunktion der Tangensfunktion besitzt auf dem Intervall <math>(0,1)\subset(-1,1)</math> die folgende Darstellung als Potenzreihe:

<math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math>.

Die Reihe <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}</math> konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Da <math>\tan(\tfrac{\pi}{4})=1</math>, liefert der abelsche Grenzwertsatz die Identität

<math>\frac{\pi}{4}= \arctan(1)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}</math>.

Literatur

• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7. Auflage. Aula-Verlag Wiesbaden 1989, S. 205.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 6. Auflage. Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S. 367.
• Vieweg Mathematik Lexikon. Vieweg-Verlag, (1988).

Weblinks

• Eric W. Weisstein: verallgemeinerte Version des Abelschen Grenzwertsatzes. In: MathWorld (englisch).
• Abel’s limit theorem. In: PlanetMath. (englisch)
• Proof of Abel’s limit theorem. In: PlanetMath. (englisch)