Satz von Clairaut (Differentialgeometrie)

Der Satz von Clairaut (benannt nach Alexis-Claude Clairaut) ist eine Aussage der klassischen Differentialgeometrie.

Aussage

Sei <math>S</math> eine Rotationsfläche und <math>c : {]a,b[} \to S</math> mit <math> s \mapsto c(s)</math> eine reguläre Kurve auf <math>S</math>. Es bezeichne <math>r(s)</math> den Radius des Breitenkreises durch <math>c(s)</math> sowie <math>\alpha(s)</math> den Schnittwinkel der Kurve mit diesem Breitenkreis. Dann gelten:

• Ist <math>c</math> eine geodätische Linie, so ist die Funktion <math>r \cos\alpha\,</math> längs <math>c</math> konstant.
• Ist <math>r \cos\alpha\,</math> längs <math>c</math> konstant und <math>c</math> kein Breitenkreis, so ist <math>c</math> eine geodätische Linie.

Beweis

Sei <math>(u, v) \rightarrow (r(v)\cos u, r(v)\sin u, h(v))</math> eine Parametrisierung der Fläche <math>S</math>, wobei wir o. B. d. A. <math>v</math> als Bogenlänge der erzeugenden Kurve <math>(r(v), h(v))</math> annehmen können. Damit berechnen wir die Koeffizienten der 1. Fundamentalform zu

<math>E(u, v) = (r(v))^2</math>, <math>F(u, v) = 0</math>, <math>G(u, v) = 1</math>.

Sei <math>s \rightarrow \vec c(s)</math> o. B. d. A. nach der Bogenlänge <math>s</math> parametrisiert. Um den Satz von Liouville anwenden zu können, berechnen wir explizit die geodätischen Krümmungen der <math>u</math>-Linien (Breitenkreise) und <math>v</math>-Linien (Meridiane):

<math>\kappa_{g,u} = -\frac{1}{r} \frac{dr}{dv}, \qquad \kappa_{g,v} = 0.</math>

Daraus ergibt sich die geodätische Krümmung der Kurve <math>\vec c</math> zu

<math>\kappa_g = -\frac{1}{r} \frac{dr}{dv} \cos\alpha + \frac{d\alpha}{ds}.</math> (1)

Differenzieren der Funktion <math>C(s) = r(\vec c(s))\cos\alpha(s)</math> liefert:

<math>\frac{dC}{ds} = \frac{dr}{dv} \frac{dv}{ds} \cos\alpha - r\sin\alpha\cdot\frac{d\alpha}{ds}.</math>

Mit <math>\frac{dv}{ds} = \frac{\sin\alpha}{\sqrt G}</math> folgt aus (1)

<math>\frac{dC}{ds} = -r\sin\alpha\cdot\kappa_g</math>

und damit die Behauptung.

Anwendung in der Landesvermessung

In der Landesvermessung stellt sich das Problem, zu gegebenem Anfangspunkt und -richtung eine geodätische Linie zu berechnen, die sogenannte erste geodätische Hauptaufgabe.

Seien <math>a</math> und <math>b</math> die Halbachsen des Referenzellipsoids und <math>e^2 = (a^2 - b^2)/a^2</math> das Quadrat der (ersten) numerischen Exzentrizität. Der Radius des Breitenkreises mit der ellipsoidischen Breite <math>\phi</math> beträgt

<math>P(\phi) = N(\phi) \cos\phi = \frac{a}{\sqrt{1 - e^2\sin^2\phi}} \cos\phi.</math>

Als Azimut bezeichnet man den Schnittwinkel der Linie mit der Nordrichtung. Damit folgt aus dem Satz von Clairaut die Konstanz von

<math>\frac{a}{\sqrt{1 - e^2\sin^2\phi}} \cos\phi \sin A</math>

entlang der Geodätischen. Führt man die reduzierte Breite <math>\beta</math> gemäß der Formel <math>\tan\beta = \sqrt{1-e^2} \tan\phi</math> ein, so folgt die Konstanz von

<math>\cos\beta \sin A.</math>

Dieser Wert heißt die clairautsche Konstante der geodätischen Linie.

Literatur

• Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Band 3. 3rd edition. Publish or Perish Press, Houston TX 1999, ISBN 0-914098-72-1, S. 214–216.