Sattel-Knoten-Bifurkation

Datei:Saddle Node Bif.jpg

Bifurkationsdiagramm einer Sattel-Knoten-Bifurkation. Stabile Fixpunkte sind rot, instabile blau dargestellt.

Die Sattel-Knoten-Bifurkation (), Falten-Bifurkation (engl. ), Tangenten-Bifurkation (engl. ), oder ist ein bestimmter Typ einer Bifurkation eines nichtlinearen dynamischen Systems.

Die Normalform der Sattel-Knoten-Bifurkation lautet

<math>\dot{x}=\mu-x^2,</math>

wobei <math>\mu</math> der Bifurkationsparameter ist.

Diese Normalform hat für <math>\mu\geq0</math> Fixpunkte:

<math>{x_{1/2}}^* = \pm\sqrt{\mu}.</math>

Das bedeutet, es existiert für <math>\mu<0</math> kein Fixpunkt, für <math>\mu=0</math> genau ein Fixpunkt und sonst zwei. Der erste Fixpunkt ist stabil (Knoten), der zweite instabil (Sattel). Am Bifurkationspunkt <math>\mu=0</math> kollidieren Sattel und Knoten. Betrachtet man ein System mit höherer Ordnung in <math>x</math>

<math>\dot{x}=\mu-x^2+O(x^3),</math>

so beeinflussen diese Terme in einer genügend kleinen Umgebung um den Sattel-Knoten-Punkt <math>\mu=0</math> das Verhalten des Systems nicht. Das heißt, das System ist lokal topologisch äquivalent am Ursprung zur Normalform. Allgemein ist die Bifurkation dadurch charakterisiert, dass ein Eigenwert der Jacobimatrix <math>D_x f(x,\mu)</math> des dynamischen Systems <math>\dot{x}=f(x,\mu)</math> bei einem kritischen Wert des Bifurkationsparameters Null wird.

Siehe auch

• Pitchfork-Bifurkation
• Hopf-Bifurkation
• Transkritische Bifurkation

Literatur

• Yuri A. Kuznetsov: Elements of Applied Bifurcation Theory (= Applied Mathematica Sciences. Band 112). 2. Auflage. Springer, 1995, ISBN 0-387-98382-1.