Sattel-Knoten-Bifurkation
Die Sattel-Knoten-Bifurkation ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}}), Falten-Bifurkation (engl. {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}), Tangenten-Bifurkation (engl. {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}), {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} oder {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} ist ein bestimmter Typ einer Bifurkation eines nichtlinearen dynamischen Systems.
Die Normalform der Sattel-Knoten-Bifurkation lautet
- <math>\dot{x}=\mu-x^2,</math>
wobei <math>\mu</math> der Bifurkationsparameter ist.
Diese Normalform hat für <math>\mu\geq0</math> Fixpunkte:
- <math>{x_{1/2}}^* = \pm\sqrt{\mu}.</math>
Das bedeutet, es existiert für <math>\mu<0</math> kein Fixpunkt, für <math>\mu=0</math> genau ein Fixpunkt und sonst zwei. Der erste Fixpunkt ist stabil (Knoten), der zweite instabil (Sattel). Am Bifurkationspunkt <math>\mu=0</math> kollidieren Sattel und Knoten. Betrachtet man ein System mit höherer Ordnung in <math>x</math>
- <math>\dot{x}=\mu-x^2+O(x^3),</math>
so beeinflussen diese Terme in einer genügend kleinen Umgebung um den Sattel-Knoten-Punkt <math>\mu=0</math> das Verhalten des Systems nicht. Das heißt, das System ist lokal topologisch äquivalent am Ursprung zur Normalform. Allgemein ist die Bifurkation dadurch charakterisiert, dass ein Eigenwert der Jacobimatrix <math>D_x f(x,\mu)</math> des dynamischen Systems <math>\dot{x}=f(x,\mu)</math> bei einem kritischen Wert des Bifurkationsparameters Null wird.
Siehe auch
Literatur
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