Riccatische Differentialgleichung

Riccatische Differentialgleichungen oder Riccati-Differentialgleichungen sind eine spezielle Klasse nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung. Sie besitzen die Form

mit gegebenen Funktionen <math>f</math>, <math>g</math> und <math>h</math>.

Sie sind nach dem Mathematiker Jacopo Francesco Riccati benannt, einem italienischen Grafen (1676–1754), der sich intensiv mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste und Methoden zur Verringerung der Ordnung von Gleichungen entwickelte.

Eine allgemeine Lösung einer Riccati-Differentialgleichung ist im Allgemeinen nicht möglich, jedoch kann eine solche angegeben werden, falls eine spezielle Lösung bekannt ist.

Denselben Namen riccatische Differentialgleichung tragen noch zwei andere Gleichungstypen, die für verschiedene Themen von angewandter Mathematik bis zur Finanzwissenschaft von Bedeutung sind.

Transformation im Falle einer bekannten Lösung

Angenommen, man hätte bereits eine Lösung <math>u</math> (etwa durch Raten) gefunden. Dann lässt sich die riccatische Differentialgleichung vollständig lösen, da das Auffinden der übrigen Lösungen sich nun auf eine bernoullische Differentialgleichung reduziert, welche leicht gelöst werden kann.<ref>W. Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2000, S. 94.</ref>

Formulierung des Transformationssatzes

Es seien <math>x_0 \in (a, b)</math> sowie <math>u\colon (a, b) \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Lösung der riccatischen Differentialgleichung

und <math>z</math> eine Lösung der bernoullischen Differentialgleichung

Dann ist

die Lösung der riccatischen Differentialgleichung

<math>y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)\ ,\

y(x_0) = y_0 := z(x_0) + u(x_0)\ .</math>

Beweis

Es gilt

<math>\begin{array}{lll}

y'(x)&=&z'(x) + u'(x)\\ &=&f(x)z(x)^2 + \Big(2u(x)f(x) + g(x)\Big)z(x) + f(x)u^2(x) + g(x)u(x) + h(x)\\ &=&f(x)\Big[z(x)^2 + 2u(x)z(x) + u^2(x)\Big] + g(x)\Big[z(x)+u(x)\Big] + h(x)\\ &=&f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)\ ,\\ \end{array}</math> während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

Umformung auf lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

Im Allgemeinen, unabhängig davon, ob man eine spezielle Lösung gefunden hat, lässt sich die riccatische Differentialgleichung auf eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten transformieren.<ref>W. Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2000, S. 305.</ref> Sollten zufälligerweise die Koeffizienten konstant sein, lässt sich diese transformierte Gleichung mit Hilfe der charakteristischen Gleichung leicht vollständig lösen. Im Fall nicht-konstanter Koeffizienten kann auch die lineare Form der riccatischen Differentialgleichung nur sehr schwer lösbar sein.

Formulierung des Transformationssatzes

Es seien <math>x_0 \in (a, b)</math> sowie <math>f\colon (a,b) \rightarrow \mathbb{R}\setminus\{0\}</math> stetig differenzierbar und <math>z</math> eine Lösung der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung

<math>z(x) - \left[g(x) + \frac{f'(x)}{f(x)}\right] \cdot z'(x) + \Big[f(x)h(x)\Big] \cdot z(x) = 0</math>

mit <math>z(x) \neq 0</math> für alle <math>x \in (a,b)</math>. Dann ist

die Lösung der riccatischen Differentialgleichung

<math>y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)\ ,\

y(x_0) = y_0 := -\frac{z'(x_0)}{f(x_0)z(x_0)}\ .</math>

Beweis

Der Übersicht halber werden die Argumente nicht mitgeschrieben. Nach der Quotientenregel gilt

<math>\begin{align}

y' &= \frac{-fzz+z'(f'z+fz')}{f^2z^2} =\frac{-fz\Big[\Big(g+\frac{f'}{f}\Big)z' - fhz\Big] + z'(f'z+fz')}{f^2z^2} \\ &=f\frac{z'^2}{f^2z^2} - g\frac{z'}{fz} + h=fy^2 + gy + h, \end{align}</math> während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

Transformation auf ein lineares Differentialgleichungssystem

Neben der Umformung der Riccati-Differentialgleichung auf eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung ist auch eine Transformation auf ein lineares Differentialgleichungssystem möglich.<ref name="Möller">T. Möller: Symbolic mathematics-based simulation of cylinder spaces for regenerative gas cycles. In: Int J Energy Environ Eng. Springer, Berlin/Heidelberg, Feb. 2015. (link.springer.com)</ref> Damit eröffnen sich weitere Lösungsmöglichkeiten. So wird beispielsweise im Fall konstanter Koeffizienten mit der Matrixexponentialfunktion eine analytische Lösung der ursprünglichen Riccati-Differentialgleichung erhalten.

Die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung (Vgl. Formulierung des Transformationssatzes)

lässt sich mit der Substitution <math>t_1=z</math> und <math>t_2=z'</math> auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen.<ref name="Merziger">G. Merziger, Th. Wirth: Repetitorium der höheren Mathematik. Binomi Verlag, Hannover 2006.</ref> Es folgt das lineare homogene Differentialgleichungssystem

<math>T^\prime(x)=A(x)\,T(x)</math>

mit der Koeffizientenmatrix <math>A(x) \in \R^{2\times 2}</math>

<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ k_2(x) & k_1(x) \end{pmatrix}</math>

und dem Vektor <math>T(x) \in \R^2 </math>

<math> T = \begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \end{pmatrix}. </math>

Ist die Koeffizientenmatrix eine stetige Funktion von <math>x</math> (d. h. auch im Fall nicht-konstanter Koeffizienten), dann hat das zugehörige Anfangswertproblem mit den Anfangswerten <math>(x_0,T_0) \in \R^{2+1}</math> stets eine eindeutig bestimmte Lösung, die für alle <math>x \in \R</math> erklärt ist. Darüber hinaus kann die Lösung in Matrixschreibweise über die Matrixexponentialfunktion auch im Fall nicht-konstanter Koeffizienten angegeben werden.<ref name="Blanes">S. Blanes, F. Casas, J. A. Oteo, J. Ros: The Magnus expansion and some of its applications. In: Physics Reports. Band 470, Cornell University Library, 2009. (arxiv.org)</ref>

Literatur

Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner 2009 (6. Auflage), ISBN 978-3-8348-0705-2
Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2000, ISBN 3-540-67642-2

Einzelnachweise