Bernoullische Differentialgleichung

Die Bernoullische Differentialgleichung (nach Jakob I Bernoulli) ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

<math>y'(x)=f(x)y(x) + g(x) y^\alpha(x),\ \alpha\notin \lbrace0,1\rbrace.</math>

Durch die Transformation

<math>\ z(x) := (y(x))^{1-\alpha}</math>

kann man sie auf die lineare Differentialgleichung

<math>z'(x)=(1-\alpha)\bigl(f(x)z(x)+g(x)\bigr)</math>

zurückführen.

Die Gleichung ist nicht zu verwechseln mit der Bernoulli-Gleichung der Strömungsmechanik.

Satz über die Transformation der Bernoullischen Differentialgleichung

Sei <math>x_0 \in (a, b)</math> und

<math>\left\{\begin{array}{ll}

z: (a,b) \rightarrow (0, \infty)\ ,&\textrm{falls}\ \alpha\in \mathbb{R}\setminus\{1,2\},\\ z: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}\setminus\{0\}\ ,&\textrm{falls}\ \alpha = 2,\\\end{array}\right.</math> eine Lösung der linearen Differentialgleichung

<math>z'(x)=(1-\alpha)f(x)z(x) + (1-\alpha)g(x).</math>

Dann ist

<math>y(x) := [z(x)]^{\frac{1}{1-\alpha}}</math>

die Lösung der Bernoullischen Differentialgleichung

<math>y'(x) = f(x)y(x) + g(x)y^\alpha(x)\ ,\ y(x_0) = y_0 := [z(x_0)]^{\frac{1}{1-\alpha}}.</math>

Weiter besitzt die Bernoullische Differentialgleichung für jedes <math>\alpha>0</math> trivialerweise <math>y\equiv 0</math> als Lösung für <math>y_0=0</math>.

Beweis

Es gilt

<math>\begin{array}{lll}

y'(x) &=& \frac{1}{1-\alpha}z(x)^{\frac{1}{1-\alpha}-1}z'(x)\\ &=& \frac{1}{1-\alpha}z(x)^{\frac{1}{1-\alpha}-1}\bigl((1-\alpha)f(x)z(x) + (1-\alpha)g(x)\bigr)\\ &=& f(x)z(x)^{\frac{1}{1-\alpha}}+ g(x)z(x)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}\\ &=& f(x)y(x)+ g(x)y^\alpha(x)\ , \end{array}</math> während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

<math>\Box</math>

Beispiel: Logistische Differentialgleichung

Die logistische Differentialgleichung

<math>y'(x) = ay(x) - by^2(x),\ y(0) = y_0 > 0,\ a, b > 0</math>

ist eine Bernoullische Differentialgleichung mit <math>\alpha = 2</math>. Löst man daher

<math>z'(x) = -az(x) + b\ ,\ z(0) = \frac{1}{y_0},</math>

ergibt sich

<math>z(x) = \frac{b}{a} + \left(\frac{1}{y_0} - \frac{b}{a}\right)e^{-ax}.</math>

Da <math>z(x) > 0</math> für alle <math>x > x^-</math> mit

<math>x^- := \left\{\begin{array}{ll}

-\infty\ ,&\textrm{falls}\ a \geq by_0,\\ \frac{1}{a}\ln(1-\frac{a}{by_0})\ ,&\textrm{falls}\ a < by_0,\\ \end{array}\right.</math> ist

<math>y(x) := \frac{1}{z(x)} = \frac{1}{\frac{b}{a}+\left(\frac{1}{y_0}-\frac{b}{a}\right)e^{-ax}}</math>

die Lösung obiger Gleichung auf <math>(x^-, \infty)</math>.

Literatur

• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart; Leipzig; Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-32227-7