Reproduktivitätseigenschaft

Die Reproduktivitätseigenschaft einer Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen besagt, dass die Summe von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen mit Verteilungen aus dieser Familie eine Verteilung aus derselben Familie besitzt.<ref>Mosler, Schmid, Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik, 2006, S. 149.</ref>

Reproduktiv in diesem Sinn sind etwa die Normalverteilungen, die Poisson-Verteilungen, die Gammaverteilungen, die Chi-Quadrat-Verteilungen und die Cauchy-Verteilungen. Eine mit Reproduktivität zusammenhängende Eigenschaft ist die unendliche Teilbarkeit. Für eine Diskussion der Unterschiede siehe dort.

Beispiel

Sind die reellen Zufallsvariablen <math>X_{1}</math> und <math>X_{2}</math> stochastisch unabhängig und normalverteilt mit

<math>X_1\sim \mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)\quad \text{und} \quad X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)</math>,

so ist die Zufallsvariable <math>Y = X_1 + X_2 </math> ebenfalls normalverteilt mit

<math>Y\sim \mathcal{N}(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)</math>.

Allgemein gilt: Aus <math>X_{i} \sim \mathcal{N}(\mu_{i}, \sigma_{i}^2), \quad i = 1, \ldots, k</math> stochastisch unabhängig folgt:<ref>Mosler, Schmid, Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik, 2006, S. 151.</ref>

<math>\sum\limits_{i=1}^{k}X_{i} \sim \mathcal{N}\left(\sum\limits_{i=1}^{k}\mu_{i}, \sum\limits_{i=1}^{k}\sigma_{i}^2\right)</math>.

Mehrere Parameter

Wird eine Verteilung durch zwei oder mehrere Parameter beschrieben, so kann es vorkommen, dass Abgeschlossenheit nur bzgl. eines Parameters bei Festhalten der übrigen Parameter vorliegt. Sind zum Beispiel <math> X_n, X_m </math> binomialverteilt mit Parametern <math> n,m </math> und <math> p </math>, also <math>X_n \sim B_{n,p}</math> und <math>X_m \sim B_{m,p}</math>, so ist <math>(X_n+X_m)\sim B_{n+m,p} </math>. Für festes <math> p </math> ist also die Binomialverteilung <math> B_{n,p} </math> reproduktiv bezüglich <math> n </math>. Obiges Beispiel der Normalverteilung zeigt, dass Abgeschlossenheit bei mehreren Parametern auch ohne eine solche Einschränkung vorliegen kann.

Literatur

Karl Mosler, Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. 2. Auflage. Springer, Berlin 2006. ISBN 978-3-540-27787-3.

Einzelnachweise