Rationaler Funktionenkörper

Ein rationaler Funktionenkörper ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Dieses Objekt hat die algebraische Struktur eines Körpers.

Definition

Der rationale Funktionenkörper <math>K(X)</math> ist der Quotientenkörper des Polynomrings <math>K[X]</math> über einem Körper <math>K</math>. Die Konstruktion von <math>K(X)</math> ist analog zu jener der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen. Die Elemente <math>r \in K(X)</math> können also als <math>r = \tfrac{f}{g}</math> mit Polynomen <math>f,g \in K[X]</math>, wobei <math>g</math> nicht das Nullpolynom ist, geschrieben werden.

Anmerkungen und Eigenschaften

Die Namensgebung ist traditionell, aber mit etwas Vorsicht zu genießen:

• Erstens muss man die Unterschiede zwischen Polynomen und Polynomfunktionen betrachten. Jedes Polynom induziert eine Polynomfunktion, aber die Zuordnung Polynom <math>\rightarrow</math> Polynomfunktion ist nur dann injektiv, wenn der Körper <math>K</math> unendlich ist. Beispiel: Ist <math>K=\mathbb{F}_2</math> der Körper mit 2 Elementen, so induzieren <math>X</math> und <math>X^2</math> die gleiche Funktion auf <math>K</math>. Trotzdem sind sie als Elemente des rationalen Funktionenkörpers nicht gleich.
• Zweitens hat in der Regel der Nenner <math>g</math> Nullstellen. Dementsprechend ist die rationale Funktion nicht auf ganz <math>K</math> definiert, sondern nur auf einer Zariski-offenen Teilmenge.

Beispiel: Für <math>K=\mathbb{F}_3</math> gilt zwar <math>\tfrac{1}{X^3-X}</math> als rationale Funktion auf <math>K</math> im Sinne der obigen Definition – aber der Definitionsbereich ist leer.

Die Körpererweiterung <math>K(X)/K</math> ist rein transzendent und damit insbesondere unendlich. Es lässt sich mit Hilfe der verallgemeinerten Partialbruchzerlegung sogar eine <math>K</math>-Basis des <math>K</math>-Vektorraums <math>K(X)</math> angeben.

In mehreren Variablen

Definition

Der rationale Funktionenkörper <math>\displaystyle K(X_1,\ldots,X_n)</math> in den Variablen <math>\displaystyle X_1,\ldots,X_n</math> ist analog definiert als der Quotientenkörper des Polynomrings <math>\displaystyle K[X_1,\ldots,X_n]</math>.

Konstruktion

Der rationale Funktionenkörper kann durch sukzessives Adjungieren einer Variablen <math>\displaystyle X_i</math> und anschließendes Bilden des Quotientenkörpers konstruiert werden. Also:

<math>\displaystyle K(X_1,\ldots,X_n)</math> ist der Quotientenkörper des Polynomrings <math>\displaystyle K(X_1,\ldots,X_{n-1})[X_n]</math>, also des Polynomrings über dem Körper <math>\displaystyle K(X_1,\ldots,X_{n-1})</math> in der Variable <math>\displaystyle X_n</math>

Funktionenkörper in der algebraischen Geometrie

In der algebraischen Geometrie werden Funktionenkörper von affinen Varietäten betrachtet: Sei der Körper <math>K</math> algebraisch abgeschlossen und <math>V</math> eine affine Varietät im <math>K^n</math>. Dann ist das Ideal <math>I(V)</math> ein Primideal im Polynomring <math>K[X_1,\ldots,X_n]</math>, weshalb der Koordinatenring <math>K[V]</math>, d. h. der Quotientenring <math>K[X_1,\ldots,X_n] / I(V)</math>, ein Integritätsbereich ist.

Der Quotientenkörper <math>K(V)</math> des Koordinatenrings <math>K[V]</math> heißt dann Funktionenkörper von <math>V</math>. Seine Elemente heißen rationale Funktionen auf <math>V</math> und dürfen tatsächlich als Funktionen auf (nicht leeren) offenen Teilmengen von <math>V</math> betrachtet werden.

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, S. 63, doi:10.1007/978-3-642-39567-3 (<math>K(X)</math> und <math>K[X_1,\ldots,X_n]</math>). 
• Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. 2. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-1964-2, S. 41, doi:10.1007/978-3-8348-2348-9 (Algebraische Geometrie).