Rarita-Schwinger-Gleichung

In der theoretischen Physik ist die Rarita-Schwinger Gleichung (nach William Rarita und Julian Schwinger, die sie 1941 formulierten) eine relativistische Feldgleichung für Spin-3/2-Fermionen. Sie wird gewöhnlich dazu benutzt, zusammengesetzte Teilchen wie das Delta-Baryon zu beschreiben und zu untersuchen, manchmal wird sie auch für hypothetische Teilchenfelder wie das Gravitino verwendet. Bisher konnte allerdings noch kein stabiles Elementarteilchen mit Spin 3/2 experimentell nachgewiesen werden.

Die Rarita-Schwinger-Gleichung ist ähnlich aufgebaut wie die Dirac-Gleichung für Spin-1/2-Fermionen und kann aus dieser hergeleitet werden. In einer modernen Notation wird sie wie folgt angeschrieben:<ref>S. Weinberg, "The quantum theory of fields", Band 3, Cambridge S. 335</ref>

<math> \left ( \epsilon^{\mu \kappa \rho \nu} \gamma_5 \gamma_\kappa \partial_\rho + m \sigma^{\mu \nu} \right)\psi_\nu = 0</math>

mit

<math> \epsilon^{\mu \kappa \rho \nu}</math> das Levi-Civita-Symbol
<math>\gamma_5</math> und <math>\gamma_\nu</math> Dirac-Matrizen
<math>m</math> die Masse des Fermions
<math>\sigma^{\mu \nu} \equiv i/2\left [ \gamma^\mu , \gamma^\nu \right ]</math>
<math>\psi_\nu</math> eine Wellenfunktion mit dem Lorentzindex <math>\nu</math>. Die Wellenfunktion transformiert bezüglich dieses Index wie ein gewöhnlicher Vierervektor. Jede der vier einzelnen Komponenten der Wellenfunktion transformiert zusätzlich aber auch wie ein Dirac-Spinor. Die Darstellung entspricht damit der <math>\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)\otimes \left(\left(\tfrac{1}{2},0\right)\oplus \left(0,\tfrac{1}{2}\right)\right)</math>, bzw. <math>\left(1,\tfrac{1}{2}\right) \oplus \left(\tfrac{1}{2},1 \right)</math> Darstellung der Lorentz-Gruppe<ref>S. Weinberg, "The quantum theory of fields", Band 1, Cambridge S. 232</ref>.

Die Rarita-Schwinger Gleichung kann aus folgender Lagrange-Dichte hergeleitet werden:<ref>S. Weinberg, "The quantum theory of fields", Band 3, Cambridge S. 335</ref>

<math>\mathcal{L} = -\tfrac{i}{2} \; \bar{\psi}_\mu \left( \epsilon^{\mu \kappa \rho \nu} \gamma_5 \gamma_\kappa \partial_\rho + m \sigma^{\mu \nu} \right) \psi_\nu</math>

Dabei bezeichnet <math>\bar{\psi}_\mu = \psi^\dagger_\mu \gamma^0</math> den adjungierten Spinor zu <math>\psi_\mu</math>.

Die Rarita-Schwinger-Gleichung hat für Teilchen mit Masse 0 eine Eichsymmetrie bezüglich der Eichtransformation <math>\psi_\mu \rightarrow \psi_\mu + \partial_\mu \epsilon</math>. Dabei ist <math>\mathcal{\epsilon}</math> ein frei wählbares, fermionisches Majorana-Feld, das zu einer geeichten Supersymmetrietransformation gehört.

Von der Rarita-Schwinger-Gleichung existieren auch Weyl- und Majorana-Darstellungen, die sich bezüglich der physikalischen Ergebnisse nicht von der Originalgleichung unterscheiden.

Literatur

W. Rarita and J. Schwinger, On a Theory of Particles with Half-Integral Spin. Phys. Rev. 60, 61 (1941).
Collins P.D.B., Martin A.D., Squires E.J., Particle physics and cosmology (1989) Wiley, Section 1.6.
G. Velo, D. Zwanziger, Propagation and Quantization of Rarita-Schwinger Waves in an External Electromagnetic Potential, Phys. Rev. 186, 1337 (1969).
G. Velo, D. Zwanziger, Noncausality and Other Defects of Interaction Lagrangians for Particles with Spin One and Higher, Phys. Rev. 188, 2218 (1969).
M. Kobayashi, A. Shamaly, Minimal Electromagnetic coupling for massive spin-two fields, Phys. Rev. D 17,8, 2179 (1978).

Bücher

Walter Greiner: Theoretische Physik. Band 6: Relativistische Quantenmechanik. Wellengleichungen. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Deutsch, Thun u. a. 1987, ISBN 3-8171-1022-7.

Einzelnachweise