Rangsatz
Der Rangsatz (auch Dimensionssatz oder Kern-Bild-Satz<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>) ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er zeigt einen Zusammenhang zwischen den Dimensionen der Definitionsmenge, des Kerns und des Bildes einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen auf. Damit stellt er ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von linearen Abbildungen dar.
Aussage
Formulierung für lineare Abbildungen
Ist <math>f \colon V \to W</math> eine lineare Abbildung von einem Vektorraum <math>V</math> in einen Vektorraum <math>W</math>, dann gilt für die Dimensionen der Definitionsmenge <math>V</math>, des Kerns <math>\mathrm{ker}(f)</math> und des Bildes <math>\mathrm{im}(f)</math> der Abbildung <math>f</math> die Gleichung
- <math>\dim V = \dim\mathrm{ker}(f) + \dim\mathrm{im}(f)</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Mit den Bezeichnungen Defekt <math>\mathrm{def}(f)</math> für die Dimension des Kerns und Rang <math>\mathrm{rk}(f)</math> (von engl. rank) für die Dimension des Bildes der Abbildung <math>f</math> liest sich der Rangsatz als
- <math>\dim V = \mathrm{def}(f) + \mathrm{rk}(f)</math>.
Der Satz gilt für Vektorräume beliebiger (auch unendlicher) Dimension.
Formulierung für Matrizen
Jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen lässt sich mithilfe einer Matrix darstellen (siehe Abbildungsmatrix). Umgekehrt definiert jede Matrix <math>A</math> durch die Vorschrift <math>x \mapsto Ax</math> eine lineare Abbildung. Aufgrund dieses engen Zusammenhangs zwischen linearen Abbildungen und Matrizen lässt sich der Rangsatz auch für Matrizen formulieren: Ist <math>A</math> eine Matrix mit <math>m</math> Zeilen und <math>n</math> Spalten, so gilt
- <math>n = \dim \mathrm{ker}(A) + \dim \mathrm{im}(A) </math>,
wobei <math>\mathrm{ker}(A)</math> der Kern und <math>\mathrm{im}(A)</math> das Bild der Matrix ist.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Die Dimension des Bildes einer Matrix ist ihr Rang. Bezeichnet man den Rang mit <math>r</math>, so liest sich der Rangsatz als
- <math>n = \dim \mathrm{ker}(A) + r</math>.
Beweise
Beweis über den Homomorphiesatz
Der Satz folgt unmittelbar aus dem Homomorphiesatz
- <math>\mathrm{im}(f) \cong V/\mathrm{ker}(f)</math>.
Da der Faktorraum <math>V/\mathrm{ker}(f)</math> isomorph zu einem Komplementärraum <math>U</math> von <math>\mathrm{ker}(f)</math> in <math>V</math> ist, gilt
- <math>\mathrm{im}(f) \cong U</math>.
Nachdem nun
- <math>V=\mathrm{ker}(f) \oplus U</math>
ist, folgt aus der Äquivalenz von Isomorphie und Gleichheit der Dimension
- <math>\dim V = \dim\mathrm{ker}(f) + \dim U = \dim\mathrm{ker}(f) + \dim\mathrm{im}(f)</math>.
Beweis durch Basisergänzung
Ist eine Menge <math>B\subset\mathrm{ker}(f)</math> eine Basis von <math>\mathrm{ker}(f)</math>, die durch eine Menge <math>A</math> mit <math>A \cap B = \emptyset</math> zu einer Basis <math>A\cup B</math> von <math>V</math> ergänzt wird (<math>A</math> ist dann eine Basis eines Komplementärraums von <math>\mathrm{ker}(f)</math>), dann ist
- <math>f(A)=\left\{f(a) \mid a\in A\right\}</math>
eine Basis des Bildes <math>\mathrm{im}(f)</math>. Betrachtet man nun die Einschränkung <math>f^\prime</math> von <math>f</math> auf den Spann (die lineare Hülle)
- <math>U=\mathrm{span}(A)</math>,
dann ist <math>f^\prime</math> injektiv und
- <math>\mathrm{im}(f^\prime)=\mathrm{im}(f)</math>.
Somit ist <math>f^\prime</math> ein Isomorphismus zwischen <math>U</math> und dem Bild von <math>f</math>. Daher gilt
- <math>\dim V = \left|A\right| + \left|B\right| = \dim U + \dim\mathrm{ker}(f) = \dim\mathrm{im}(f) + \dim\mathrm{ker}(f)</math>.
Der Homomorphiesatz folgt ebenfalls – durch Übergang vom Komplementärraum zum Faktorraum.
Folgerungen
Im endlichdimensionalen Fall lässt sich mithilfe des Rangsatzes die Dimension des Bildraums aus der Dimension des Kerns als
- <math>\dim \mathrm{im}(f) = \dim V - \dim \mathrm{ker}(f)</math>
berechnen. Entsprechend gilt umgekehrt auch
- <math>\dim \mathrm{ker}(f) = \dim V - \dim \mathrm{im}(f)</math>.
Im unendlichdimensionalen Fall lässt sich mittels des Rangsatzes die Dimension des Bildraums nicht aus der Dimension des Kerns (oder umgekehrt) berechnen, wenn der Kern dieselbe Dimension wie der gesamte Raum besitzt. Andernfalls ist die Dimension des Bildraums <math>W</math> gleich der Dimension von <math>V</math>.
Verallgemeinerung
Eine weitreichende Verallgemeinerung des Rangsatzes ist die Aussage, dass die alternierende Summe der Dimensionen der einzelnen Komponenten eines Kettenkomplexes gleich der alternierenden Summe der Dimensionen seiner Homologiegruppen ist. Siehe dazu die Euler-Charakteristik eines Kettenkomplexes.
Siehe auch
Literatur
- Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. 8. Auflage. Springer Spektrum, 2014, ISBN 978-3-658-02412-3, S. 165–166.
- Tilo Arens et al.: Mathematik. 5. Auflage. Springer Spektrum. 2023, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 629–630.
- Gilbert Strang: Lineare Algebra. Springer. Berlin / Heidelberg 2003, ISBN 978-3-540-43949-3, S. 181–187.
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Weblinks
- {{#if: Robert Milson|Robert Milson: }}Rank-nullity theorem. In: PlanetMath. (englisch)
- {{#if: Rahmi Jackson | Rahmi Jackson | Eric W. Weisstein }}: Rank-Nullity Theorem. In: MathWorld (englisch). {{#if: Rank-NullityTheorem | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | Rank-NullityTheorem | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Einzelnachweise
<references />