Quadratur des Rechtecks

Quadratur mit Hilfe des Höhensatzes

Die Quadratur des Rechtecks ist eine klassische Aufgabe der Geometrie. Mit Lineal und Zirkel soll aus einem gegebenen Rechteck ein Quadrat mit gleich großer Fläche gezeichnet werden. Im Gegensatz zur auf diese Weise nicht lösbaren Quadratur des Kreises ist die Quadratur des Rechtecks auf verschiedene Arten möglich.

Ausgangslage

Datei:Quadratur rechteck ausgangslage.svg

Rechtwinkliges Dreieck

Ausgangspunkt für die folgenden beiden Konstruktionen sind zwei auf Euklid zurückgehende mathematische Gesetze des rechtwinkligen Dreiecks, der Höhensatz und der Kathetensatz.

In einem rechtwinkligen Dreieck seien a und b die den rechten Winkel einschließenden Katheten und c die Hypotenuse. h sei die Höhe auf die Seite c, und p bzw. q seien die beiden Hypotenusenabschnitte. Dann gelten folgende Beziehungen:

<math> h^2 = p \cdot q </math> (Höhensatz von Euklid)

<math> a^2 = c \cdot p </math> und <math> b^2 = c \cdot q </math> (Kathetensatz von Euklid)

Methode mit dem Höhensatz

Datei:Quadratur rechteck hoehensatz.svg

Quadratur mit Hilfe des Höhensatzes

Ganz egal, welche Proportionen das gegebene (hier grüne) Rechteck hat: Wir nehmen an, seine eine Seite wäre der Hypotenusenabschnitt p und seine andere Seite der Hypotenusenabschnitt q eines rechtwinkligen Dreiecks. Dann schwenken wir die (hier) kürzere Seite des Rechtecks um 90° und erhalten die Basis eines rechtwinkligen Dreiecks. Über dieser Basis zeichnen wir einen Thaleskreis. Die Verlängerung der kürzeren Rechteckseite schneidet den Thaleskreis und liefert die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks mit den Hypotenusenabschnitten p und q. Wenn man nun über dieser Höhe ein (hier oranges) Quadrat errichtet, hat dieses exakt denselben Flächeninhalt wie das gegebene Rechteck.

Methode mit dem Kathetensatz

Datei:Quadratur rechteck kathetensatz.svg

Quadratur mit Hilfe des Kathetensatzes

Bei der zweiten Methode nimmt man an, die längere Seite des (hier grünen) Rechtecks würde sich über die gesamte Basis c eines rechtwinkligen Dreiecks erstrecken. Dann dreht man die kürzere Seite des Rechtecks um 90° nach innen, sie liefert den Hypotenusenabschnitt q und den Fußpunkt der Höhe h. Dann zeichnet man über der Basis c einen Thaleskreis. Der Schnittpunkt der Höhe mit der Kreislinie ergibt den dritten Dreieckspunkt, wodurch sich die Kathete b ergibt. Wenn man nun über b ein (hier oranges) Quadrat errichtet, hat dieses exakt denselben Flächeninhalt wie das gegebene Rechteck.

Methode mit dem Sekanten-Tangenten-Satz

Datei:Squared-rectangle-using-secant-tangent-theorem.svg

Quadratur mit Hilfe des Sekanten-Tangenten-Satzes

Auch der Sekanten-Tangenten-Satz lässt sich für die Quadratur des Rechtecks verwenden: In einem gegebenen (hier grünen) Rechteck mit Länge p und Breite q, sei eine Länge p auch als Strecke Vorlage:Overline gekennzeichnet. Sei die Strecke Vorlage:Overline gleich der Breite q und innerhalb Vorlage:Overline. Sei M₁ der Mittelpunkt der Strecke Vorlage:Overline. Sei k₁ der Kreis mit Durchmesser Vorlage:Overline, und k₂ der Kreis mit Durchmesser Vorlage:Overline. Sei T ein Schnittpunkt dieser Kreise. Der Winkel M₁TR ist nach dem Satz von Thales ein rechter, daher ist Vorlage:Overline eine Tangente an k₁. Nach dem Sekanten-Tangenten-Satz gilt nun (Vorlage:Overline)² = p·q.

Methode mit dem Sehnensatz sowie mit dem geometrischen Mittel

Datei:01-Quadratur Rechteck-Sehnensatz.svg

Quadratur mit Hilfe des Sehnensatzes
Das graue Rechteck b · c und die gestrichelten Linien sind für die Lösung nicht erforderlich, sie sollen lediglich die Lösung verdeutlichen, z. B. aus welchem Grund die Strecke Vorlage:Overline eine Seite a des flächengleichen Quadrates ist.

Zu den vier bekanntesten Lösungen zur Flächenumwandlung zählt auch die, die mit Hilfe des Sehnensatzes darstellbar ist.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:Emese Vargyas, Ysette Weiss-Pidstrygach|Emese Vargyas, Ysette Weiss-Pidstrygach: }}{{#if:|{{#if:5 Geschichte der Mathematik im Unterricht am Beispiel des Sehnensatzes S. 279–283, siehe S. 281, Abb. 4|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=5 Geschichte der Mathematik im Unterricht am Beispiel des Sehnensatzes S. 279–283, siehe S. 281, Abb. 4}}]{{#if:PDF| (PDF)}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:http://www.mathematica-didactica.com/altejahrgaenge/md_2015/md_2015_Vargyas_Weiss-Pidstrygach_Sehnensatz.pdf#page=7&zoom=90,-130,115%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=5 Geschichte der Mathematik im Unterricht am Beispiel des Sehnensatzes S. 279–283, siehe S. 281, Abb. 4}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=http://www.mathematica-didactica.com/altejahrgaenge/md_2015/md_2015_Vargyas_Weiss-Pidstrygach_Sehnensatz.pdf#page=7&zoom=90,-130,115}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=5 Geschichte der Mathematik im Unterricht am Beispiel des Sehnensatzes S. 279–283, siehe S. 281, Abb. 4}}}}]}}{{#if:PDF| (PDF{{#if:Um welche Flächen geht es beim Sehnensatz?mathematica-didactica.com2015{{#if: 2019-04-28 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Für die Quadratur eines gegebenen (hier blauen) Rechtecks mit Länge p und Breite q, werden zuerst zwei Ecken einer langen Seite mit A bzw. B bezeichnet. Es folgt die Verlängerung der Strecke Vorlage:Overline um die Breite q mit Hilfe des Viertelkreises, dabei ergibt sich die Strecke Vorlage:Overline. Nach dem Einzeichnen der Mittelsenkrechten von Vorlage:Overline wird auf der Mittelsenkrechten der frei wählbare Punkt M bestimmt. Nun zeichnet man einen Kreis um den Punkt M mit dem Radius |MA|; hiermit wird die Strecke Vorlage:Overline zur ersten Sehne des Kreises. Es geht weiter, indem der Durchmesser des Kreises durch den Punkt B gezogen wird. Die damit entstandene Strecke Vorlage:Overline ist die zweite Sehne des Kreises. Beide Sehnen kreuzen sich im Punkt B, der seinerseits die Sehne Vorlage:Overline in p und q sowie die Sehne Vorlage:Overline in b und c unterteilt. Schließlich wird eine Senkrechte auf die Strecke Vorlage:Overline errichtet, die ab dem Punkt B bis auf die Kreislinie verläuft und den Schnittpunkt G erzeugt. Somit ergibt sich als Strecke Vorlage:Overline die erste Seite a des gesuchten flächengleichen (hier grünen) Quadrates.

Wie beschrieben ist in der nebenstehenden Zeichnung die Sehne Vorlage:Overline durch den Mittelpunkt des Kreises gezogen. Auf Grund dessen besteht bezüglich Verdeutlichung und Begründung des Ergebnisses die Möglichkeit (wie dargestellt), zusätzlich zur Rechteckfläche b · c für die Umwandlung in die Quadratfläche a²,<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> auch das rechtwinklige Dreieck EFG mit der Höhe h = a und die Quadratfläche h² einzuzeichnen. Alles zusammen gesehen, ist der Zusammenhang des Sehnensatzes mit dem Höhensatz deutlich erkennbar.

Gemäß dem Sehnensatz gilt:

<math>\overline{AB} \cdot \overline{BC} = \overline{EB} \cdot \overline{BF} </math>

bzw.

daraus folgt (wie im Höhensatz von Euklid)

zieht man daraus die Quadratwurzel, ist die Seitenlänge a des Quadrates gleich dem geometrischen Mittel der Länge p + q.<ref name="Magdeburg">Universität Magdeburg A.14 Mittelwerte. Mittlere Proportionale, Seite 2, Punkt u. Bild: b) (PDF) abgerufen am 7. Mai 2017</ref>

Datei:01 Quadratur des Rechtecks-Geometrisches Mittel.svg

Quadratur des Rechtecks mit Hilfe des geometrischen Mittels

Siehe auch

Literatur

Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 193, 212, 415–417
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 31–32

Weblinks

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{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Rectangle Squaring. In: MathWorld (englisch). {{#if: RectangleSquaring | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | RectangleSquaring | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Euklid’s Elemente Zweytes Buch, Der 14. Satz. – Quadratur des Rechtecks in den Elementen des Euklid
Vom Rechteck, das ein Quadrat werden wollte (PDF)
Quadratur des Rechtecks auf mathematische-basteleien.de

Einzelnachweise