Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)
{{#if: behandelt Quantile von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Zufallsvariablen. Für Quantile von Stichproben siehe Empirisches Quantil.
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Ein Quantil (
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Genauer ist das <math>p</math>-Quantil, wobei <math>p</math> eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 ist, ein Wert einer Variablen oder Zufallsvariablen, der die Menge aller Merkmalswerte (salopp „die Verteilung“) in zwei Abschnitte unterteilt: Links vom <math>p</math>-Quantil liegt der Anteil <math>p\ (= 100 p\,\%)</math> aller Beobachtungswerte oder der Gesamtzahl der Zufallswerte oder der Fläche unter der Dichtekurve; rechts davon liegt der jeweilige restliche Anteil <math>1-p\ (= 100 (1-p) \,\%)</math>. Die Zahl <math>p</math> heißt auch der Unterschreitungsanteil.
Spezielle Quantile sind der Median, die Quartile, die Quintile, die Dezile und die Perzentile.
Als Quantil der Ordnung <math>p</math> oder <math>p</math>-Quantil <math>Q(p)</math> (veraltet auch „Fraktil“) wird in der Statistik ein Merkmalswert bezeichnet, unterhalb dessen ein vorgegebener Anteil <math>p</math> aller Fälle der Verteilung liegt. Jeder Wert unterhalb von <math>Q(p)</math> unterschreitet diesen vorgegebenen Anteil. Dabei kann der Unterschreitungsanteil <math>p</math> auch als eine reelle Zahl zwischen 0 (gar kein Fall der Verteilung) und 1 (alle Fälle bzw. 100 % der Verteilung) angegeben werden.
Definition
Für Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> (\R, \mathcal B (\R)) </math>, also den reellen Zahlen, versehen mit der Borelschen σ-Algebra.
Dann heißt eine reelle Zahl <math> x_p </math> ein <math>p</math>-Quantil (von <math> P </math>), wenn gilt:<ref name="Georgii233">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
- <math> P((- \infty, x_p]) \geq p \quad</math> und <math>\quad P([ x_p, + \infty)) \geq 1- p </math>.
Insbesondere kann mehr als ein <math>p</math>-Quantil existieren.
Für Zufallsvariablen
Gegeben sei eine reelle Zufallsvariable <math> X </math>.
Dann heißt eine reelle Zahl <math> x_p </math> ein <math>p</math>-Quantil (von <math> X </math>), wenn gilt:<ref name="Georgii233" />
- <math> P(X \leq x_p) \geq p \quad</math> und <math>\quad P( x_p \leq X ) \geq 1- p </math>.
Damit sind die <math>p</math>-Quantile der Zufallsvariablen <math> X </math> genau die <math>p</math>-Quantile ihrer Verteilung <math> P_X </math>.
Definition über Verteilungsfunktionen
Ebenso lassen sich Quantile auch über Verteilungsfunktionen definieren. Ist <math> F </math> die Verteilungsfunktion von <math> P </math> oder von <math> X </math>, so heißt <math> x_p </math> ein <math>p</math>-Quantil, wenn
- <math> F(x_p)\geq p \quad</math> und <math> \quad\lim_{t \uparrow x_p} F(t) \leq p </math>.
Hierbei bezeichnet <math>\lim_{t \uparrow x_p} F(t)</math> den linksseitigen Grenzwert.
Definition empirischer Quantile
Als Schätzung eines <math>p</math>-Quantils bei einer gegebenen Zufallsstichprobe <math>x_1,\ldots ,x_n</math>, ist das entsprechende empirische Quantil <math>x_{(p)}</math> definiert durch:
- für wenigstens <math>pn</math> der Werte gilt <math>x_i \le x_{(p)}</math>
- für wenigstens <math>(1-p)n</math> der Werte gilt <math>x_i \ge x_{(p)}</math>
Bestimmung und Beispiele
Bei stetigen Verteilungsfunktionen
Ist die Verteilungsfunktion <math> F </math> der Zufallsvariable oder der Wahrscheinlichkeitsverteilung stetig, die Verteilung also eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, so vereinfacht sich die Definition. Das <math>p</math>-Quantil <math> x_p </math> ist dann eine Lösung der Gleichung
- <math> F(x_p)=p </math>
Dies folgt aus der Definition des <math>p</math>-Quantils über die Verteilungsfunktion, da der linksseitige Grenzwert im dritten Kriterium aufgrund der Stetigkeit dann mit dem Funktionswert an der Stelle <math> x_p </math> übereinstimmt.
Beispiel
Betrachtet man die Exponential-Verteilung mit Parametern <math> \lambda > 0</math>, so besitzt sie die Verteilungsfunktion
- <math>F(x)=\begin{cases}
1-\mathrm{e}^{-\lambda x}& x\geq 0, \\
0 & x < 0.
\end{cases}</math>
Auflösen der Gleichung
- <math> 1-\mathrm{e}^{-\lambda x} = p </math>
für ein <math> p \in (0,1) </math> nach <math> x </math> liefert das <math>p</math>-Quantil. Hier ist
- <math> x_p= - \frac{\ln (1-p) }{\lambda} </math>.
Ist die Verteilungsfunktion auf einem Intervall konstant, so existieren mehrdeutige <math>p</math>-Quantile. Betrachtet man die Verteilungsfunktion
- <math> F(x)= \begin{cases}0 & \text{ für }\quad x \leq -1 \\ x+1 & \text{ für }\quad -1 < x \leq - \tfrac 12 \\ \tfrac 12 & \text{ für }\quad - \tfrac 12 < x \leq \tfrac 12 \\ x & \text{ für }\quad \tfrac 12 < x \leq 1 \\ 1 & \text{ für }\quad 1 \leq x \end{cases} </math>,
so besitzt die Gleichung
- <math> F(x)= \tfrac 12 </math>
unendlich viele Lösungen. Jedes <math> x </math> aus dem Intervall <math> [- \tfrac 12, \tfrac 12 ] </math> ist dann ein <math> \tfrac 12 </math>-Quantil (also ein Median).
Bei Existenz einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Besitzt die Zufallsvariable beziehungsweise die Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion <math> f </math> (sie ist demnach eine absolutstetige Verteilung), so ist das <math>p</math>-Quantil <math> x_p </math> Lösung der Gleichung
- <math> \int_{- \infty}^{x_p} f(x) \mathrm d x = p </math>.
Dies folgt direkt aus der Tatsache, dass absolutstetige Verteilungen immer eine stetige Verteilungsfunktion besitzen, diese sich über das Integral bestimmen lässt, und der Aussage im obigen Abschnitt.
Beispiel
Bei Verteilungen mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen treten mehrdeutige Quantile dann auf, wenn die Dichtefunktion auf einem Intervall konstant null ist. So besitzt die oben über die Verteilungsfunktion definierte Verteilung die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
- <math> f(x)= \begin{cases} 1 & \text{ falls }\quad x \in (-1, -\tfrac 12] \cup (\tfrac 12, 1] \\ 0 & \text{ sonst } \end{cases} </math>
Der oben hergeleitete mehrdeutige Median wird hier durch das Intervall <math> (- \tfrac 12, \tfrac 12 ] </math> verursacht, auf dem die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion konstant gleich null ist.
Nicht-Eindeutigkeit und eindeutige Definition
Ist <math>F_X</math> invertierbar, beispielsweise bei stetigen Verteilungen mit streng monotoner Verteilungsfunktion, fallen obere und untere Grenze zusammen, wodurch die obengenannte Menge einelementig bzw. das <math>p</math>-Quantil eindeutig wird.
Die Funktion <math>F_X^{-1} \colon (0,1)\to \R</math> heißt Quantilsfunktion oder verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion, der Wert <math>F_X^{-1}(p)</math>, zuweilen auch <math>Q_X(p)</math> geschrieben, dementsprechend <math>p</math>-Quantil von <math>F_X</math> oder von <math>X</math>. (Wenn klar ist, welche Zufallsvariable gemeint ist, wird diese oft auch weggelassen.)
In den Grafiken rechts ist <math>q_2</math> das eindeutige <math>p_2</math>-Quantil, ferner ist <math>q_3</math> das eindeutige <math>p_3</math>-Quantil, <math>p_3^+</math>-Quantil sowie <math>p_3^-</math>-Quantil.
Hat <math>F_X</math> eine Sprungstelle bei <math>q</math>, ist also <math>P(X=q)>0</math>, so gilt <math>F_X(F_X^{-1}(p))>p</math> für fast alle <math>p</math> mit <math>F_X^{-1}(p)=q</math>.
In der Grafik rechts oben ist <math>P(X=q_3)=P(X\leq q_3)-P(X<q_3) = p_3^+-p_3^- \ > \ 0</math>
und daher <math>F(F^{-1}(p_3^+))=F(F^{-1}(p_3^-))=F(q_3)=p_3^+ \ > \ p_3^-</math>.
Ist <math>F_X</math> für ein <math>p</math> nicht invertierbar, also ein Stück weit konstant, besitzt die Quantilfunktion <math>F_X^{-1}</math> für dieses <math>p</math> eine Sprungstelle, bei der sie als Funktionswert das kleinstmögliche <math>p</math>-Quantil angibt. In der Grafik ist
- <math>q_1^-=F_X^{-1}(p_1)</math> das kleinstmögliche <math>p_1</math>-Quantil,
- <math>q_1^+</math> das größtmögliche <math>p_1</math>-Quantil, und
- jedes <math>q_1\in(q_1^-,q_1^+)</math> ein weiteres <math>p_1</math>-Quantil.
Beim oft verwendeten 50-%-Quantil sind zur besseren Unterscheidung sogar eigene Begrifflichkeiten üblich: Der Untermedian <math>F_X^{-1}(0{,}5)</math> ist das kleinstmögliche 50-%-Quantil, der Median das mittlere 50-%-Quantil und der Obermedian das größtmögliche 50-%-Quantil, wobei alle drei deutlich auseinanderfallen können.
Beispiel
Das Quantil <math>Q_{0{,}3}</math> (also das 0,3-Quantil) ist der Wert der Stelle einer Verteilung, unterhalb deren sich 30 % aller Fälle der Verteilung befinden.
Besondere Quantile
Für einige bestimmte <math>p</math> haben die <math>p</math>-Quantile zusätzliche Bezeichnungen.
Median
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Der Median oder Zentralwert entspricht dem Quantil <math>Q_{0{,}5}</math> (0,5-Quantil). Für eine Zufallsstichprobe gilt, dass circa 50 % der in ihr enthaltenen Werte kleiner als der Median sind. Für eine Verteilung gilt, dass der Median der Wert ist, bei dem die kumulative Verteilungsfunktion den Wert 0.5 annimmt.
Terzil
Durch Terzile wird die größengeordnete Menge der Werte in drei Abschnitte gleichen Umfangs geteilt: unteres, mittleres und oberes Drittel.
Quartil
Quartile (lateinisch „Viertelwerte“) sind die Quantile <math>Q_{0{,}25}</math> (0,25-Quantil), <math>Q_{0{,}5}</math> (0,5-Quantil = Median) und <math>Q_{0{,}75}</math> (0,75-Quantil), die auch als Q1 („unteres Quartil“), Q2 („mittleres Quartil“) und Q3 („oberes Quartil“) bezeichnet werden. Sie sind die in der Statistik mit am häufigsten verwendete Form der Quantile.
Der (Inter-)Quartilabstand oder auch (Inter-)Quartilsabstand (englisch interquartile range) bezeichnet die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil, also <math>Q_{0{,}75}-Q_{0{,}25}</math>, und umfasst daher 50 % der Verteilung. Der Quartilabstand wird als Streuungsmaß verwendet.
Siehe auch: Streuung (Statistik)
Quintil
Durch Quintile (lateinisch „Fünftelwerte“) wird die Menge der Werte der Verteilung in 5 umfangsgleiche Teile zerlegt. Unterhalb des ersten Quintils, d. h. des Quantils <math>Q_{0{,}2}</math>, liegen 20 % der Werte der Verteilung, unterhalb des zweiten Quintils (Quantil <math>Q_{0{,}4}</math>) 40 % usw.
Dezil
Durch Dezile (lateinisch „Zehntelwerte“) wird die Menge der verteilten Werte in zehn umfangsgleiche Teile zerlegt. Entsprechend liegen dann z. B. unterhalb des dritten Dezils (Quantil <math>Q_{0{,}3}</math>) 30 % der Werte. Dezile teilen ein der Größe nach geordnetes Datenbündel in 10 umfangsgleiche Teile. Das 10-%-Dezil (oder das erste Dezil) gibt an, welcher Wert die unteren 10 % von den oberen 90 % der Datenwerte trennt, das zweite Dezil, welcher Wert die unteren 20 % von den oberen 80 % der Werte trennt usw. Der Abstand zwischen dem 10-%-Dezil und dem 90-%-Dezil heißt Interdezilbereich.
Perzentil
Durch Perzentile (lateinisch „Hundertstelwerte“), auch Prozentränge genannt, wird die Verteilung in 100 umfangsgleiche Teile zerlegt. Perzentile teilen die Verteilung also in 1-%-Segmente auf. Daher können Perzentile als Quantile betrachtet werden, bei denen <math>100 \cdot p</math> eine ganze Zahl ist. So entspricht das Quantil <math>Q_{0{,}97}</math> dem Perzentil P97, unterhalb dieses Punktes liegen 97 % aller Fälle der Verteilung.
{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}} a-Fraktil
Für <math>a</math> aus <math>(0,1)</math> wird das <math>(1-a)</math>-Quantil auch als <math>a</math>-Fraktil bezeichnet. Diese Unterteilung wird z. B. in der als „Paretoprinzip“ bezeichneten Vermutung verwendet.
Siehe auch
- Modus (Statistik)
- Parameter (Statistik)
- grafische Darstellung:
- Cornish-Fisher-Methode
Literatur
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Einzelnachweise
<references />