Cornish-Fisher-Methode

Mit der Cornish-Fisher-Methode (nach E. A. Cornish und Ronald Aylmer Fisher) kann das Quantil einer Verteilungsfunktion auf Basis der ersten vier Momente (Erwartungswert, Standardabweichung, Schiefe und Kurtosis) abgeschätzt werden.<ref>Preview: The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants bei jstor.org, abgerufen am 3. Mai 2022.</ref> Basis ist die Bestimmung eines Quantils einer Normalverteilung.<ref>Inefficiency and bias of modified value-at-risk and expected shortfall bei risk.net, abgerufen am 3. Mai 2022.</ref> Im Falle einer Normalverteilung mit Erwartungswert <math>E(X)</math> können die Quantile der Verteilung dargestellt werden als

<math>Q_\alpha(X)=F^{-1}_x(\alpha)=E(X)+q_\alpha \cdot \sigma(X)</math>.

Hierbei ist der Faktor <math>q_\alpha</math> nur vom betrachteten Quantil <math>\alpha</math> abhängig und entspricht dem Wert der invertierten Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung an der Stelle <math>\alpha</math>.

Die Cornish-Fisher-Erweiterung berücksichtigt nun die Schiefe <math>\gamma</math> und die Wölbung <math>\delta</math> einer Verteilung, womit sich natürlich andere Quantile als bei der Normalverteilung ergeben, deren Schiefe 0 und Kurtosis 3 beträgt. Hierbei wird der Faktor <math>q_\alpha</math> angepasst mittels

<math>z_\alpha=q_\alpha+\frac 1 6 (q_\alpha^2 -1) \cdot \gamma+\frac 1 {24} (q_\alpha^3 -3q_\alpha) \cdot \varepsilon-\frac 1 {36} (2q_\alpha^3 -5q_\alpha) \cdot \gamma^2</math>

dabei bezeichnet <math>\varepsilon = \delta - 3</math> den Exzess, d. h. die über die Wölbung der Normalverteilung hinausgehende Wölbung (Überkurtosis).

(Cornish-Fisher-Abschätzung).<ref>The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants bei digital.library.adelaide.edu.au/, abgerufen am 3. Mai 2022.</ref>

Die Berechnung der Quantilsfunktion lautet damit

<math>Q_\alpha(X)=E(X)+z_\alpha \cdot \sigma(X) \,</math>.

Die Methode ermöglicht unter anderem eine bessere Abschätzung von quantilsbezogenen Risikomaßen, z. B. dem Value at Risk, wenn die Normalverteilungshypothese verletzt ist.<ref>Moments and cumulants in the Specification of Distributions bei digital.library.adelaide.edu.au/, abgerufen am 3. Mai 2022.</ref>

Weblinks

Cornish, E. A.; Fisher, Ronald A.: Moments and cumulants in the Specification of Distributions PDF-Datei (engl.)

Einzelnachweise