Projektive Varietät

In der klassischen algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine projektive Varietät ein geometrisches Objekt, das durch homogene Polynome beschrieben werden kann.

Definition

Es sei <math>K</math> ein fest gewählter, algebraisch abgeschlossener Körper.

Der <math>n</math>-dimensionale projektive Raum über dem Körper <math>K</math> ist definiert als

<math>P^{n}:=(K^{n+1}\setminus\{(0,\ldots,0)\})/\sim</math>

für die Äquivalenzrelation

<math>(x_0,\ldots,x_n) \sim (y_0,\ldots,y_n) \Leftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus\{0\}\colon x_i = \lambda y_i, i=0,\ldots,n</math>.

Die Äquivalenzklasse des Punktes <math>(x_0,\ldots,x_n)</math> wird mit <math>\left[x_0:\ldots:x_n\right]</math> bezeichnet.

Für ein homogenes Polynom <math>f\in K[X_0,\ldots,X_n]</math> und einen Punkt <math>x=[x_0:\ldots:x_n]</math> ist die Bedingung <math>f(x_0,\ldots,x_n)=0</math> unabhängig von den gewählten homogenen Koordinaten von <math>x</math>.

Eine projektive algebraische Menge ist eine Teilmenge des projektiven Raumes, die die Form

<math>\{x\in P^n\mid f_1(x)=\ldots=f_k(x)=0\}</math>

für homogene Polynome <math>f_1,\ldots,f_k</math> in <math>K[X_0,\ldots,X_n]</math> hat.

Eine projektive Varietät ist eine irreduzible projektive algebraische Menge, d. h., die Polynome <math>f_1,\ldots,f_k</math> sollen ein Primideal in <math>K[X_0,\ldots,X_n]</math> erzeugen.

Beispiele

<math>P^n\times P^m</math> ist eine projektive Varietät mittels der Segre-Einbettung

<math>P^n \times P^m \to P^{(n+1)(m+1)-1}, (x_i, y_j) \mapsto x_iy_j</math> (in lexikographischer Ordnung).

Das Faserprodukt zweier projektiver Varietäten ist eine projektive Varietät.
Hyperflächen sind Nullstellenmengen eines irreduziblen homogenen Polynoms. Jede irreduzible abgeschlossene Untermenge der Kodimension 1 ist eine Hyperfläche.
Eine glatte Kurve (d. h. Kurve ohne Singularitäten) ist genau dann eine projektive Varietät, wenn sie vollständig ist. Ein Beispiel sind elliptische Kurven, die sich in <math>P^2</math> einbetten lassen. (Allgemein kann jede glatte vollständige Kurve in <math>P^3</math> eingebettet werden.) Glatte vollständige Kurven vom Geschlecht größer als 1 heißen hyperelliptische Kurven, wenn es einen endlichen Morphismus vom Grad 2 auf den <math>P^1</math> gibt.
Abelsche Varietäten besitzen ein amples Geradenbündel und sind deshalb projektiv. Beispiele sind elliptische Kurven, Jacobi-Varietäten und K3-Flächen.
Grassmann-Mannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten mittels Plücker-Einbettung.
Fahnenmannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten mittels Einbettung in ein Produkt von Graßmann-Mannigfaltigkeiten.
Kompakte Riemannsche Flächen (kompakte eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten) sind projektive Varietäten. Nach dem Satz von Torelli werden sie durch ihre Jacobi-Varietät eindeutig bestimmt.
Eine kompakte zweidimensionale komplexe Mannigfaltigkeit mit zwei algebraisch unabhängigen meromorphen Funktionen ist eine projektive Varietät. (Chow-Kodaira)
Der Kodaira-Einbettungssatz gibt ein Kriterium, wann eine Kähler-Mannigfaltigkeit eine projektive Varietät ist.

Invarianten

Das Hilbert-Samuel-Polynom des homogenen Koordinatenringes <math>K\left[X_0,\ldots,X_n\right]/I</math>, wenn die projektive Varietät durch das homogene Primideal <math>I</math> definiert ist. Aus dem Hilbert-Samuel-Polynom ergeben sich insbesondere die Dimension, der Grad und das arithmetische Geschlecht der Varietät.
Die Picardgruppe (die Gruppe der Isomorphismenklassen von Linienbündeln) und die Jacobi-Varietät (der Kern von <math>deg:Pic(X)\rightarrow \Z</math>).

Weblinks

Bauer et al.: Geometry and topology through projective spaces