Kähler-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik bezeichnet man mit Kähler-Mannigfaltigkeit (nach Erich Kähler) eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer komplexen Struktur und einer riemannschen Metrik (im Sinne einer riemannschen Mannigfaltigkeit), die miteinander verträglich sind.

Der Begriff der Kähler-Mannigfaltigkeit findet Anwendung in der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und ist ein zentraler Begriff der geometrischen Quantisierung. Ein auch in der Stringtheorie wichtiges Beispiel für Kähler-Mannigfaltigkeiten sind Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Definitionen

Symplektische Sichtweise

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine symplektische Mannigfaltigkeit <math>(X,\omega)</math> ausgestattet mit einer integrierbaren fast komplexen Struktur <math>J</math>, welche mit der symplektischen Form <math>\omega</math> kompatibel ist, was bedeutet, dass die bilineare Form

<math>g(u,v) = \omega(u,Jv)</math>

auf dem Tangentialraum von <math>X</math> an jedem Punkt symmetrisch und positiv definit ist.

Komplexe Sichtweise

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit <math>X</math> mit einer hermitischen Metrik <math>h</math>, deren zugehörige 2-Form <math>\omega</math> geschlossen ist. Genauer gesagt, gibt <math>h</math> eine positive bestimmte hermitische Form auf dem Tangentialraum <math>TX</math> an jedem Punkt von <math>X</math> und die 2-Form <math>\omega</math> ist definiert durch

<math>\omega(u,v) = \operatorname{Re} h(iu,v) = \operatorname{Im} h(u, v)</math>

für Tangentialvektoren <math>u</math> und <math>v</math>. Eine Kähler-Mannigfaltigkeit kann auch als Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der Riemannschen Metrik <math>g</math> angesehen werden definiert durch

<math>g(u,v) = \operatorname{Re} h(u,v).</math>

Riemannsche Sichtweise

Sei <math>M</math> eine glatte Mannigfaltigkeit, <math> J \colon TM \to TM </math> eine komplexe Struktur, das heißt eine glatte Abbildung <math> J \colon TM \to TM </math> mit <math>J^2 = -Id</math> und <math> g \colon \mathcal{V}(M)\times \mathcal{V}(M) \to C^{\infty}(M;\mathbb{R}) </math> eine riemannsche Metrik, wobei <math> \mathcal{V}(M)</math> den Raum der glatten Vektorfelder auf <math>M </math> bezeichnet. Das Tripel <math>(M,J,g) </math> heißt Kähler-Mannigfaltigkeit, wenn

<math>g(J X ,J Y)=g(X,Y)</math>

für alle Vektorfelder <math>X,Y\in \mathcal{V}(M)</math> gilt und

<math>\omega(X,Y):=g(J X,Y)</math> eine symplektische Form

ist. Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Anker“ ist nicht vorhanden.Die 2-Form <math>\omega</math> heißt dann die Kähler-Form von <math>M</math> und <math>g</math> die Kähler-Metrik.

Falls der Ricci-Tensor proportional zur riemannschen Metrik ist, so spricht man auch von einer Kähler-Einstein- (oder Einstein-Kähler)-Mannigfaltigkeit. Für weitere Details vgl. den Artikel einsteinsche Mannigfaltigkeit.

Hodge-Theorie für Kähler-Mannigfaltigkeiten

Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit der Dimension <math>N</math>, ist der Verallgemeinerte Laplace-Operator auf glatten <math>r</math>-Formen als <math>\Delta_d := dd^*+d^*d</math> definiert, wobei <math>d</math> die äußere Ableitung und <math>d^* := -(-1)^{Nr}\star d\star</math> ist und <math>\star</math> den Hodge-Stern-Operator bezeichnet. Für eine hermitesche Mannigfaltigkeit <math>X</math> werden <math>d</math> und <math>d^*</math> zerlegt als

<math>d=\partial+\bar{\partial},\quad d^*=\partial^*+\bar{\partial}^*,</math>

und es werden zwei weitere Laplace-Operatoren definiert:

<math>\Delta_{\bar{\partial}} :=\bar{\partial}\bar{\partial}^*+\bar{\partial}^*\bar{\partial},\quad \Delta_\partial :=\partial\partial^*+\partial^*\partial.</math>

Wenn <math>X</math> Kähler-Struktur besitzt, dann sind diese verallgemeinerten Laplace-Operatoren bis auf eine Konstante identisch:

<math>\Delta_d=2\Delta_{\bar{\partial}} = 2\Delta_\partial .</math>

Daraus folgt, dass auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit <math>X</math> die Gleichheit

<math>\mathcal H^r(X) = \bigoplus_{p+q=r}\mathcal H^{p,q}(X)</math>

gilt, wobei <math>\mathcal H^r</math> der Raum harmonischer <math>r</math>-Formen auf <math>X</math> (Formen <math>\alpha</math> mit <math>\Delta\alpha=0</math>) und <math>\mathcal H^{p,q}</math> der Raum harmonischer <math>(p,q)</math>-Formen ist. Das heißt also, dass eine Differentialform <math>\alpha</math> harmonisch ist, wenn alle ihre <math>(p,q)</math>-Komponenten harmonisch sind.

Für eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit <math>X</math>, gibt die Hodge-Theorie eine Interpretation der obigen Zerlegung, welche nicht von der Wahl der Kähler-Metrik abhängt. Nämlich teilt sich die Kohomologie <math>H^r(X,\mathbb C)</math> von <math>X</math> mit komplexen Koeffizienten als direkte Summe von gewissen kohärenten Garbenkohomologiegruppen:

<math>H^r(X,\mathbf{C})\cong\bigoplus_{p+q=r}H^q(X,\Omega^p)</math>.

Die Gruppe auf der linken Seite ist nur von <math>X</math> als topologischer Raum abhängig, während die Gruppen auf der rechten Seiten von <math>X</math> als eine komplexe Mannigfaltigkeit abhängen. Also verbindet der Hodge-Zerlegungs-Satz Topologie und komplexe Geometrie für kompakte Kähler-Mannigfaltigkeiten.

Beispiele

Der komplexe Raum <math>\mathbb C^n</math>.
Ein kompakt komplexer Torus <math>\mathbb C\setminus\Lambda</math>.
Jede Riemannsche Metrik auf einer orientierten 2-Mannigfaltigkeit.
Der komplexe projektive Raum <math>\mathbb C P^n</math> und projektive Varietäten <math>X\subset \mathbb C^n</math>.
Die induzierte Metrik auf einer komplexen Untermannigfaltigkeit einer Kähler-Mannigfaltigkeit ist Kähler. Jede Steinsche Mannigfaltigkeit oder glatte projektive algebraische Varietät ist Kähler.
Hermitesche symmetrische Räume.
Jede K3-Fläche ist Kähler.
Bahnen der koadjungierten Darstellung halb-einfacher Lie-Gruppen.

Siehe auch

Literatur

Alan Huckleberry, Tilman Wurzbacher (Hrsg.): Infinite Dimensional Kähler Manifolds (= DMV-Seminar. Bd. 31). Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6602-8.
Andrei Moroianu: Lectures on Kähler Geometry (= London Mathematical Society Student Texts. Bd. 69). Cambridge University Press, Cambridge 2007, ISBN 978-0-521-68897-0.

Weblinks