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Potenz-assoziative Algebra

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Eine potenz-assoziative Algebra ist eine Algebra, in welcher die Potenzen eines Elements unabhängig von der Beklammerungsreihenfolge definiert werden können.

Definitionen

Für ein Magma <math>\mathcal{M}=(M,\circ)</math> und jedes <math>a \in M</math> definiere man

<math>a^1 := a</math> sowie <math>a^{k+1} := a \circ a^k</math> für jedes <math>k \in \mathbb{N}</math>.

Die Verknüpfung <math>\circ</math> eines Magmas <math>(M,\circ)</math> heißt potenz-assoziativ für ein Element <math>a \in M</math>, wenn für alle positiven natürlichen Zahlen <math>i, j \in \N^*</math> gilt

<math>a^{i+j} = a^i \circ a^j</math>

Ein Magma <math>\mathcal{M}=(M,\circ)</math> nennt man potenz-assoziatives Magma, wenn dessen Verknüpfung <math>\circ</math> potenz-assoziativ ist für jedes <math>a \in M</math>.

Die Algebra <math>\mathcal{A}</math> heißt potenz-assoziativ (potenz-assoziative Algebra), wenn ihre Multiplikation <math>\cdot</math> potenz-assoziativ ist, also <math>(\mathcal{A},\cdot)</math> ein potenz-assoziatives Magma ist.

Beispiele

Potenz-assoziative Magmen

  • Jede Halbgruppe ist auch immer ein potenz-assoziatives Magma.
  • Für jedes idempotente Element eines Magmas gilt die Potenz-Assoziativität: <math>a^{i+j} = a = a \circ a = a^i\circ a^j</math>.
    Entsprechend ist jedes idempotente Magma ein potenz-assoziatives Magma
  • Jede alternative und flexible Verknüpfung, die die Moufang-Identitäten erfüllt, ist auch potenz-assoziativ.
    Beweis (per vollständiger Induktion):
    • Induktionsanfang <math>i=1</math>: <math> a^1 \circ a^j \overset{(1)}{=} a \circ a^j \overset{(1)}{=} a^{j+1} = a^{1+j}</math>
    • Induktionsanfang <math>i=2</math>: <math> a^2 \circ a^j \overset{(1)}{=} (a \circ a) \circ a^j \overset{(2)}{=} a \circ (a \circ a^j) \overset{(1)}{=} a \circ a^{1+j} \overset{(1)}{=} a^{2+j}</math>
    • Induktionsschritt <math>i \longrightarrow i+1</math> für <math>i \ge 2</math>:
      <math> a^{i+1} \circ a^j \overset{(1)}{=} (a \circ a^i) \circ a^j \overset{(1)}{=} (a \circ (a \circ a^{i-1})) \circ a^j</math>
      <math>\overset{(3)}{=} (a \circ (a^{i-1} \circ a)) \circ a^j </math>
      <math>\overset{(4)}{=} a \circ (a^{i-1} \circ (a \circ a^j))</math>
      <math>\overset{(1)}{=} a \circ (a^{i-1} \circ a^{j+1})</math>
      <math>\overset{(5)}{=} a \circ a^{(i-1)+(j+1)} = a \circ a^{i+j} \overset{(1)}{=} a^{(i+j)+1} = a^{(i+1)+j}</math>
(1) Definition <math>a^n</math>
(2) (Links-)Alternativität von <math>\circ</math>
(3) Flexibilität (und der daraus folgenden <math>i</math>-Potenz-Assoziativität, siehe unten) von <math>\circ</math>
(4) Moufang-Identität für <math>\circ</math>
(5) Induktionsvoraussetzung
  • Für die Multiplikation einer Algebra reicht hierfür bereits die Alternativität aus, siehe unten!
  • Für Spezialfälle reichen weniger Voraussetzungen aus. So folgt <math>a^{3+2} = a^3 a^2</math> bereist aus der Alternativität:
    <math>a^{3+2} = a^5 \overset{(1)}{=} a(a(a(aa))) \overset{(2)}{=} a((aa)(aa)) \overset{(3)}{=} (a(aa))(aa) \overset{(1)}{=} a^3a^2</math>
    1: Definition <math>a^n</math>
    2: Linksalternativität
    3: Rechtsalternativität

Potenz-assoziative Algebren

  • Alle assoziativen Algebren sind potenz-assoziativ.
  • Alle <math>K</math>-Algebren <math>\mathcal{A}</math>, in denen es zu jedem <math>a \in \mathcal{A}</math> ein <math>c_a \in K</math> gibt mit <math>a \cdot a = c_a\cdot a</math>, sind potenz-assoziativ.
    • Hierzu gehört beispielsweise <math>\mathbb{R}^3</math>, ausgestattet mit dem Kreuzprodukt, da <math>a \times a = 0</math> für alle <math>a \in \mathbb{R}^3</math>.
  • Die Algebra der Sedenionen ist ebenfalls eine potenz-assoziative Algebra.

Weitere Abschwächungen der Potenz-Assoziativität

Die Verknüpfung <math>\circ</math> eines Magmas <math>(M,\circ)</math> heißt <math>i</math>-potenz-assoziativ für ein Element <math>a \in M</math>, wenn für die positive natürliche Zahl <math>i \in \N^*</math> gilt:

<math>a^i \circ a = a \circ a^i</math>

Ein Magma, dessen Verknüpfung <math>i</math>-potenz-assoziativ ist, kann man somit auch als ein <math>i</math>-potenz-assoziatives Magma bezeichnen.

Ein potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein <math>i</math>-potenz-assoziatives Magma, denn es gilt:

<math>a \circ a^i \overset{(1)}{=} a^{i+1} \overset{(2)}{=} a^i \circ a^1 \overset{(1)}{=} a^i \circ a</math>
1: Definition <math>a^n</math>
2: Potenz-Assoziativität von <math>\circ</math>

Ein flexibles Magma (und erst recht jede Halbgruppe) ist auch immer ein <math>i</math>-potenz-assoziatives Magma, denn es gilt (per vollständiger Induktion):

  • Induktionsanfang <math>i=1</math> (nur mit Definition <math>a^n</math>): <math> a^1 \circ a = a \circ a = a \circ a^1</math>
  • Induktionsschritt <math>i \longrightarrow i+1</math>: <math> a^{i+1} \circ a \overset{(1)}{=} ( a \circ a^i) \circ a \overset{(2)}{=} a \circ ( a^i \circ a ) \overset{(3)}{=} a \circ ( a \circ a^i ) \overset{(1)}{=} a \circ a^{i+1} </math>
1: Definition <math>a^n</math>
2: Flexibilität von <math>\circ</math>
3: Induktionsvoraussetzung

Die Verknüpfung <math>\circ</math> eines Magmas <math>(M,\circ)</math> heißt idemassoziativ (in Anlehnung an idempotent) für ein Element <math>a \in M</math>, wenn gilt

<math>a\circ(a\circ a)=(a\circ a)\circ a</math>.

Ein Magma, dessen Verknüpfung idemassoziativ ist, kann man somit auch als ein idemassoziatives Magma bezeichnen.

Ein <math>i</math>-potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein idemassoziatives Magma (mit <math>i = 2</math>).

Beispiele

1. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist idemassoziativ, aber weder <math>i</math>-potenz-assoziativ (und somit auch nicht potenz-assoziativ) noch flexibel noch alternativ:

<math>\circ</math> 0 1 2
0 2 1 2
1 2 2 0
2 2 0 0
  • nicht linksalternativ wegen <math>0 \circ (0 \circ 1) = 0 \circ 1 = 1 \ne 0 = 2 \circ 1 = (0 \circ 0) \circ1</math>
  • nicht rechtsalternativ wegen <math>0 \circ (2 \circ 2) = 0 \circ 0 = 2 \ne 0 = 2 \circ 2 = (0 \circ 2) \circ 2</math>
  • nicht flexibel wegen <math>1 \circ ( 0 \circ 1 ) = 2 \ne 0 = ( 1 \circ 0 ) \circ 1</math>
  • nicht potenz-assoziativ wegen <math>0^{2+2}=0^4= 0 \circ ( 0 \circ ( 0 \circ 0 ) = 2 \ne 0 = ( 0 \circ 0 ) \circ (0 \circ 0) = 0^2 \circ 0^2</math>
  • nicht <math>i</math>-potenz-assoziativ für <math>i\ge 3</math> wegen <math>1 \circ 1^3 = 1 \circ ( 1 \circ ( 1 \circ 1 ) ) = 2 \ne 1 = ( 1 \circ ( 1 \circ 1 )) \circ 1 = 1^3 \circ 1</math>
  • idemassoziativ wegen
    • <math>0 \circ ( 0 \circ 0 ) = 2 = ( 0 \circ 0 ) \circ 0</math>
    • <math>1 \circ ( 1 \circ 1 ) = 0 = ( 1 \circ 1 ) \circ 1</math>
    • <math>2 \circ ( 2 \circ 2 ) = 2 = ( 2 \circ 2 ) \circ 2</math>

2. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist potenz-assoziativ (und somit auch <math>i</math>-potenz-assoziativ und idemassoziativ), aber weder flexibel noch alternativ:

<math>\circ</math> 0 1 2
0 0 0 0
1 0 0 2
2 0 0 2
  • nicht alternativ wegen <math>1 \circ ( 1 \circ 2 ) = 2 \ne 0 = ( 1 \circ 1 ) \circ 2</math>
  • nicht flexibel wegen <math>2 \circ ( 1 \circ 2 ) = 2 \ne 0 = ( 2 \circ 1 ) \circ 2</math>
  • potenz-assoziativ wegen
    • <math>0^{i+j} = 0 = 0 \circ 0 = 0^i \circ 0^j </math>
    • <math>1^{i+j} = 0 = 0 \circ 0 = 1^i \circ 1^j </math>
    • <math>2^{i+j} = 2 = 2 \circ 2 = 2^i \circ 2^j </math>

3. Das Potenzieren ist nicht idemassoziativ (und somit auch weder <math>i</math>-potenz-assoziativ noch potenz-assoziativ), denn es gilt zum Beispiel: <math>\left(3^3\right)^3 = 27^3 = 19683\neq 7625597484987 = 3^{27} = 3^{\left(3^3\right)}</math>.

Literatur

  • Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-54055-654-0.
  • R. D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras. Benediction Classics, 2010, ISBN 1-84902-590-8.
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