Moufang-Identitäten

Eine zweistellige Verknüpfung <math>\cdot</math> auf einer Menge <math>X</math> erfüllt die Moufang-Identitäten (benannt nach der deutschen Mathematikerin Ruth Moufang), wenn für alle <math>a,b,c\in X</math> die Gleichungen

(M1) <math>\Big(a \cdot (b \cdot a)\Big) \cdot c = a \cdot \Big(b \cdot (a \cdot c)\Big)</math>

und

(M2) <math>(a \cdot b) \cdot (c \cdot a) = a \cdot \Big((b \cdot c) \cdot a\Big)</math>

gelten.

Dual dazu werden auch folgende Gleichungen als Moufang-Identitäten bezeichnet:

(M1') <math>\Big((a \cdot b) \cdot c\Big) \cdot b = a \cdot \Big(b \cdot (c \cdot b)\Big)</math>

und

(M2') <math>(a \cdot b) \cdot (c \cdot a) = \Big(a \cdot (b \cdot c)\Big)\cdot a</math>

In einer Quasigruppe <math>(M,\cdot)</math> impliziert eine dieser vier Gleichungen jeweils die drei anderen. Außerdem sichert jede dieser Gleichung die Existenz eines neutralen Elements zu. Eine Quasigruppe, in der also (mindestens) eine der Moufang-Identitäten erfüllt ist, ist demnach eine Loop, die dann auch Moufang-Loop genannt wird.

Bezug zu anderen Formen der Assoziativität

Bei den Moufang-Identitäten handelt es sich um eine abgeschwächte Form des Assoziativgesetzes. Außer für assoziative Verknüpfungen gelten die Moufang-Identitäten auch für Alternativkörper wie zum Beispiel die Oktonionen.

Gelten in einem Magma <math>(M,\cdot)</math> mit einem neutralen Element <math>1</math> die Moufang-Identitäten (M1) und (M2), dann gilt für die Verknüpfung <math>\cdot</math>

• die Linksalternativität (wegen (M1) mit <math>b=1</math>):

<math>(a \cdot a) \cdot c = \Big(a \cdot (1 \cdot a)\Big) \cdot c = a \cdot \Big(1 \cdot (a \cdot c)\Big)= a \cdot ( a \cdot c)</math>

• das Flexibilitätsgesetz (wegen (M2) mit <math>c=1</math>):

<math>( a \cdot b) \cdot a = (a \cdot b) \cdot (1 \cdot a) = a \cdot \Big((b \cdot 1) \cdot a\Big)=a \cdot ( b \cdot a ) </math>

Gelten in <math>(M,\cdot)</math> mit einem neutralen Element <math>1</math> jedoch die Moufang-Identitäten (M1') und (M2'), dann gilt für die Verknüpfung <math>\cdot</math>

• die Rechtsalternativität (wegen (M1') mit <math>c=1</math>):

<math>(a \cdot b) \cdot b = \Big((a \cdot b) \cdot 1\Big) \cdot b = a \cdot \Big(b \cdot (1 \cdot b)\Big)= a \cdot ( b \cdot b)</math>

• das Flexibilitätsgesetz (wegen (M2') mit <math>b=1</math>):

<math> a \cdot ( a \cdot b) = (a \cdot 1) \cdot (c \cdot a) = \Big(a \cdot (1 \cdot c)\Big) \cdot a =(a \cdot b) \cdot a </math>

In einem flexiblen Magma <math>(M,\cdot)</math>, in dem für die Verknüpfung <math>\cdot</math> also das Flexibilitätsgesetz gilt, folgt M2' direkt aus M2 (und umgekehrt), und es gelten folgende zusätzliche Identitäten

(M3, folgt aus M1) <math>\Big((a \cdot b) \cdot a\Big) \cdot c = \Big(a \cdot (b \cdot a)\Big) \cdot c = a \cdot \Big(b \cdot (a \cdot c)\Big)</math>

(M3', folgt aus M1') <math>\Big((a \cdot b) \cdot c\Big) \cdot b = a \cdot \Big(b \cdot (c \cdot b)\Big) = a \cdot \Big(( b \cdot c) \cdot b\Big)</math>

Literatur

• John Horton Conway, Derek Smith: On Quaternions and Octonions Hardcover, 2003, ISBN 1568811349, insbesondere S. 88
• Kenneth Kunen: Moufang quasigroups, Journal of Algebra, Vol. 183, Issue 1, 1996, Seiten 231–234
• Ruth Moufang: Zur Struktur von Alternativkörpern, Math. Ann., Vol. 110, 1935, Seiten 416–430