Potente Zahl
Eine potente Zahl ist eine natürliche Zahl <Math>m</Math> mit der Eigenschaft, dass für jeden Primteiler <Math>p</Math> von <Math>m</Math> auch <Math>p^2</Math> Teiler von <Math>m</Math> ist. Äquivalent dazu ist eine potente Zahl das Produkt einer Quadratzahl und einer Kubikzahl: <math>m=a^2b^3</math> mit natürlichen Zahlen <Math>a</Math> und <Math>b</Math>. Paul Erdős und George Szekeres untersuchten solche Zahlen, Solomon W. Golomb nannte sie powerful.
Liste aller potenten Zahlen von 1 bis 1000:
- 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.
Folge A001694 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Die Reihe über den Kehrwerten aller potenten Zahlen lässt sich mit Hilfe der Riemannsche ζ-Funktion geschlossen darstellen. (Golomb, 1970)
- <math>\sum_{n\, \text{potent}} \frac{1}{n}=\prod_p \left(1+\frac{1}{p\, (p-1)}\right)=\frac{\zeta(2)\,\zeta(3)}{\zeta(6)}=\frac{315}{2\pi^4}\zeta(3)=1{,}9435964368207592050570...</math>
Dabei ist <math>\zeta(3)</math> die Apéry-Konstante, für die es keine exakte Darstellung wie für gerade Argumente der Riemannschen Zeta-Funktion gibt. Ihr numerischer Wert beläuft sich auf <math>\zeta(3)=1{,}20205690315959428539...</math>.