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Panjer-Algorithmus

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Die Panjer-Rekursion (oder auch Panjer-Algorithmus) ist ein Algorithmus um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable

<math>S := \sum_{i=1}^N X_i := \sum_{n=0}^{\infty} \chi_{\{\omega \in \Omega | N(\omega) = n\}}\sum_{i=1}^n X_i</math>

zu berechnen. Dabei sind <math>N</math> und <math>X_i</math> Zufallsvariablen, welche ein kollektives Modell bilden, und <math>\chi</math> bezeichnet die Indikatorfunktion.

Der Algorithmus wurde in einer Publikation von Harry Panjer erstmals veröffentlicht.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if: 

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  }}</ref> Er wird im Versicherungswesen häufig benutzt.

Vorbedingungen

Wir sind an der speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable <math>\textstyle S = \sum_{i=1}^N X_i</math> interessiert, wobei <math>N</math> und <math>X_i</math> die folgenden Vorbedingungen erfüllen müssen:

Schadenanzahlverteilung

<math>N</math> ist eine „Schadenanzahlverteilung“, d. h. <math>N \in \mathbb{N}_0</math>. <math>N</math> ist unabhängig von <math>X_i</math>.

Weiterhin muss <math>N</math> ein Element der Panjer-Klasse sein. Die Panjer-Klasse besteht aus allen Zufallsvariablen mit Werten in <math>\N_0</math>, welche die folgende Relation erfüllen:

<math>p_k= \left(a + \frac{b}{k}\right) \cdot p_{k-1}</math> mit <math>~~k \ge 1</math> und für <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a+b \ge 0</math>.

Der Wert <math>p_0</math> wird so bestimmt, dass <math>\textstyle \sum_{k=0}^\infty p_k = 1</math> erfüllt ist.

Sundt bewies im Paper<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if: 

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  }}</ref>, dass nur die Binomialverteilung, die Poisson-Verteilung und die Negative Binomialverteilung in der Panjer-Klasse liegen. Sie haben die Parameter und Werte wie in der folgenden Tabelle beschrieben, wobei <math>W_N(x)</math> die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bezeichnet.
Verteilung <math> P[N=k] </math> <math> a </math> <math> b </math> <math> p_0 </math> <math> W_N(x) </math> <math> E[N] </math> <math> Var(N) </math>
Binomial <math>\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} </math> <math> \frac{p}{p-1} </math> <math> \frac{p(n+1)}{1-p} </math> <math> (1-p)^n </math> <math> (px+(1-p))^{n} </math> <math> np </math> <math> np(1-p) </math>
Poisson <math> e^{-\lambda}\frac{ \lambda^k}{k!} </math> <math> 0 </math> <math> \lambda </math> <math> e^{- \lambda} </math> <math> e^{\lambda(x-1)} </math> <math> \lambda </math> <math> \lambda </math>
Negative Binomial <math> \frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k </math> <math> 1-p </math> <math> (1-p)(r-1) </math> <math> p^r </math> <math> \left( \frac{p}{1 - x(1-p)}\right) ^r </math> <math> \frac{r(1-p)}{p} </math> <math> \frac{r(1-p)}{p^2} </math>

Einzelschadenverteilung

Wir nehmen an, dass <math>X_i</math> identisch verteilte unabhängige Zufallsvariablen sind, welche unabhängig von <math>N</math> sind. Weiterhin muss <math>X_i</math> auf einem Gitter <math>h \mathbb{N}_0</math> mit Gitterlänge <math>h>0</math> verteilt sein.

<math>f_k = P[X_i = hk].</math>

Rekursion

Der Algorithmus verwendet eine Rekursion, um die Wahrscheinlichkeiten <math>g_k = P[S = hk] </math> zu berechnen.

Der Startwert ist: <math>g_0 = W_N(f_0)</math>

mit den Spezialfällen
<math>g_0 = p_0\cdot \exp(f_0 b) \text{ für } a = 0,</math>
und
<math>g_0 = \frac{p_0}{(1-f_0a)^{1+b/a}} \text{ für } a \ne 0.</math>

Die nachfolgenden Werte können folgendermaßen berechnet werden:

<math>g_k = P[S = hk] = \frac{1}{1-f_0a}\sum_{j=1}^k \left( a+\frac{b\cdot j}{k} \right) \cdot f_j \cdot g_{k-j}.</math>

Beispiel

Datei:Expba07.jpg
Abbildung 1

Abbildung 1 zeigt die approximierte Dichtefunktion von <math>\textstyle S \,=\, \sum_{i=1}^N X_i</math> wobei <math>\textstyle N\, \sim\, \operatorname{NegBin}(3{,}5; 0{,}3)</math> und <math>\textstyle X \,\sim \,\operatorname{Frechet}(1{,}7;1)</math>. Die Einzelschadenverteilung wurde mit einer Gitterbreite <math>h = 0{,}04</math> diskretisiert (siehe auch Fréchet-Verteilung).

Siehe auch

Literatur

  • Schmidt, Klaus D.: Versicherungsmathematik, Springer Dordrecht Heidelberg London New York 2009, ISBN 978-3-642-01175-7.

Einzelnachweise

<references />

Abgerufen von „https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Panjer-Algorithmus&oldid=878663“