Mysior-Ebene

Die Mysior-Ebene ist ein auf den polnischen Mathematiker Adam Mysior zurückgehendes Beispiel eines topologischen Raums aus dem Jahre 1981.<ref>Adam Mysior: A Regular Space which is not Completely Regular. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Bd. 81, Nr. 4, 1981, S. 652–653, {{#invoke:Vorlage:Handle|f|scheme=doi|class=plainlinks|parProblem=Problem|errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:DOI|errClasses=error editoronly|errHide=1|errNS=0 4 10 100}}.</ref> Es handelt sich um einen regulären Hausdorffraum, der nicht vollständig regulär ist, oder in Trennungsaxiomen ausgedrückt, um einen T₃-Raum, der nicht T_3a-Raum ist. Die Konstruktion ist deutlich einfacher als ältere Beispiele dieser Art.

Definition

Datei:MysiorEbene.png

Die Nullumgebungen in der Mysior-Ebene

Die Grundmenge des hier vorgestellten Raumes ist die obere Halbebene zusammen mit einem weiteren Punkt <math>P</math>, den man etwa als <math>(0,-1)</math> wählen kann.

<math>X = \R\times \R^+_0 \cup \{(0,-1)\}</math>.

Die Topologie wird durch die Angabe von Umgebungsbasen definiert. Als Umgebungsbasis eines Punktes <math>(x,y)\in X</math> betrachten wir:

im Falle <math>y>0</math> die Menge <math>\{(x,y)\}</math>, das heißt, diese Punkte sollen alle isoliert liegen.
im Falle <math>y=0</math> die Menge der Mengen der Form <math>\{(x,0)\}\cup S</math>, wobei <math>S</math> in der Vereinigung der Strecken <math>I_x:=\{x\}\times[0,2)</math> und <math>J_x:=\{(x+\xi,\xi); 0\le \xi < 2\}</math> liegt und bis auf höchstens endlich viele Ausnahmen auch alle Punkte aus <math>I_x\cup J_x</math> enthält.
im Falle <math>y=-1</math> die Menge der Mengen <math>U_n:=\{(\xi,\eta); \xi > n, \eta \ge 0\} \cup \{(0,-1)\}</math>, dieser Fall betrifft also nur den Punkt <math>P=(0,-1)</math>.

Durch diese Umgebungsbasen wird eine Topologie <math>\tau</math> auf <math>X</math> definiert. Der topologische Raum <math>(X,\tau)</math> heißt Mysior-Ebene.<ref>Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der abstrakten Analysis mit Anwendungen. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-24914-2, Beispiel (2.5,4).</ref><ref>Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Bd. 33). 2., revised edition. North-Holland, Amsterdam u. a. 1985, ISBN 0-444-87655-3, Example III.2.</ref>

Eigenschaften

Der Punkt <math>P=(0,-1)</math> ist nicht isoliert, auch wenn obige Skizze diesen Eindruck erweckt, denn offenbar konvergiert <math>(n,0)\rightarrow P</math> für <math>n\to\infty</math>.

Die Mysior-Ebene <math>(X,\tau)</math> ist ein T₃-Raum. Die Hausdorff-Eigenschaft, nach der je zwei Punkte disjunkte Umgebungen haben, liest man leicht aus den angegebenen Umgebungsbasen ab. Der Raum ist aber auch regulär, das heißt jeder Punkt besitzt eine Umgebungsbasis aus <math>\tau</math>-abgeschlossenen Mengen. In den ersten beiden Fällen obiger Definition sind die angegebenen Mengen bereits abgeschlossen. Für die Umgebungsbasismengen <math>U_n</math> von <math>P</math> überlegt man sich <math>\overline{U_{n+2}}\subset U_n</math>, so dass auch hier eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen existiert.

Die Mysior-Ebene ist kein T_3a-Raum. Die Menge <math>A:=(-\infty,1]\times\{0\}\subset X</math> ist <math>\tau</math>-abgeschlossenen, <math>P\in X</math> ist ein außerhalb dieser Menge gelegener Punkt, aber man kann zeigen, dass jede stetige Funktion, die <math>f(a)=0</math> für alle <math>a\in A</math> erfüllt, auch im Punkt <math>P</math> gleich 0 ist. In diesem technischen Teil macht man von der Struktur der Umgebungsbasen der Punkte <math>(x,0)</math> Gebrauch, mit der man Nullstellen von <math>f</math> derart "nach rechts transportieren" kann, dass in jedem Intervall <math>[n,n+1]\times\{0\}</math> unendlich viele Nullstellen liegen. Damit enthält jede Umgebung <math>U_n</math> von <math>P</math> Nullstellen von <math>f</math> und aus der Stetigkeit von <math>f</math> folgt <math>f(P)=0</math>. Daher kann <math>(X,\tau)</math> kein T_3a-Raum sein.

Einzelnachweise