Maurer-Cartan-Form

Die Maurer-Cartan-Form ist eine in Differentialgeometrie und Mathematischer Physik häufig verwendete Lie-Algebra-wertige Differentialform auf Lie-Gruppen. Sie ist benannt nach dem deutschen Mathematiker und Hochschullehrer Ludwig Maurer und dem französischen Mathematiker Élie Cartan.

Definition

Sei <math>G</math> eine Lie-Gruppe, <math>\mathfrak g=T_eG</math> ihre Lie-Algebra. Für <math>g\in G</math> induziert die Links-Multiplikation

<math>L_{g^{-1}}:G\rightarrow G</math>

das Differential

<math>(DL_{g^{-1}})_g:T_gG\rightarrow T_eG=\mathfrak g</math>.

Die Maurer-Cartan-Form <math>\omega\in\Omega^1(G,\mathfrak g)</math> ist definiert durch

<math>\omega(v):=(DL_{g^{-1}})_g(v)</math>

für <math>v\in T_gG,g\in G</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Die Maurer-Cartan-Form erfüllt die Gleichung

<math>d\omega+\frac{1}{2}\left[\omega,\omega\right]=0</math>.

Hierbei ist der Kommutator Lie-algebra-wertiger Differentialformen durch

<math>[\omega\wedge\eta](v_1,v_2) = [\omega(v_1),\eta(v_2)] - [\omega(v_2),\eta(v_1)]</math>

und die äußere Ableitung <math>d\omega</math> durch

<math>d\omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])</math>

definiert.