Lokal konstante Funktion
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In der Mathematik heißt eine Funktion <math>f\colon T \to M</math> von einem topologischen Raum <math>T</math> in eine Menge <math>M</math> lokal konstant, wenn für jedes <math>x \in T</math> eine Umgebung <math>U</math> von <math>x</math> existiert, auf der <math>f</math> konstant ist.
Eigenschaften
- Jede konstante Funktion ist auch lokal konstant.
- Jede lokal konstante Funktion von <math> \R</math> in eine beliebige Menge <math>M</math> ist konstant, da <math> \R</math> zusammenhängend ist und nicht durch mindestens zwei disjunkte offene Mengen zu überdecken ist.
- Jede lokal konstante holomorphe Funktion <math>f\colon M \to \Complex</math> von einer offenen Menge <math>M</math> in die komplexen Zahlen ist konstant, wenn <math>M</math> ein Gebiet ist, also zusammenhängend ist.
- Allgemein ist jede lokal konstante Funktion konstant auf jeder Zusammenhangskomponente, für lokal zusammenhängende Räume gilt auch die Umkehrung.
- Eine Abbildung <math>f\colon T \to D</math> von einem topologischen Raum <math>T</math> in einen diskreten Raum <math>D</math> ist genau dann stetig, wenn sie lokal konstant ist.
- Jede Abbildung <math>f\colon D \to T</math> von einem diskreten Raum <math>D</math> in einen beliebigen topologischen Raum <math>T</math> ist lokal konstant.
- Die Menge der lokal konstanten Funktionen auf einem Raum bilden auf natürliche Weise eine Garbe kommutativer Ringe.
Beispiele
- Die Funktion <math>f\colon \Q \to \Q</math>, definiert durch <math>f(x)=0</math> für <math>x < \pi</math> und <math>f(x)=1</math> für <math>x > \pi</math> ist lokal konstant. (Hierbei geht ein, dass <math>\pi</math> irrational ist, da so <math>\{x \mid x < \pi\}</math> und <math>\{x \mid x > \pi\}</math> offene Mengen sind, die <math> \Q</math> überdecken.)
- Die Funktion <math>g\colon \R \setminus\{0\} \to \R</math>, definiert durch <math>g(x)=0</math> für <math>x < 0</math> und <math>g(x)=1</math> für <math>x > 0</math>, ist ebenso lokal konstant.
- Die Vorzeichenfunktion auf <math>\R \setminus\{0\}</math> ist lokal konstant.
- Treppenfunktionen sind nicht lokal, sondern stückweise konstant.