Lemniskatische Konstante

Die lemniskatische Konstante ist eine 1798 von Carl Friedrich Gauß eingeführte mathematische Konstante. Sie ist definiert als der Wert des elliptischen Integrals

<math>\varpi = 2 \int_0^1\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^4}}</math> = 2,62205 75542 92119 81046 48395 89891 11941 36827 54951 43162 … (Folge A062539 in OEIS)

und tritt bei der Berechnung der Bogenlänge der gesamten Lemniskate von Bernoulli auf. Derzeit (Stand: 17. Mai 2025) sind 2.000.000.000.050 Nachkommastellen der lemniskatischen Konstante bekannt. Sie wurden von Lorenz Milla berechnet.<ref>Alex Yee: Records Set by y-cruncher. 18. Mai 2025, abgerufen am 18. Mai 2025 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)). </ref>

Bezeichnung

Datei:Lemniscate of Bernoulli.svg

Die lemniskatische Konstante ist das Verhältnis des Umfangs zum maximalen Durchmesser bei der Lemniskate von Bernoulli.

Gauß wählte für die lemniskatische Konstante bewusst die griechische Minuskel <math>\varpi</math> (gesprochen: Skript-Pi oder Varpi), eine alternative Schreibweise von <math>\pi</math>, um an die Analogie zum Kreis mit seinem halben Umfang

<math>\pi = 2\int_0^1\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}</math>

zu erinnern. Den Ursprung dieser Bezeichnung bei Gauß klärte vermutlich zuerst Ludwig Schlesinger auf: Zunächst verwendete Gauß zur Bezeichnung der lemniskatischen Periode das Zeichen <math>\Pi</math>, und ab Juli 1798 verwendete er für diese Größe konsequent <math>\tfrac{\varpi}{2}</math>.

Im Englischen findet sich für die Minuskel <math>\varpi</math> auch die (irreführende) Bezeichnung pomega, ein Kofferwort aus den Buchstabennamen für π und ω.

Im englischen Sprachraum wird

<math>G = \varpi/\pi</math> = 0,83462 68416 74073 18628 14297 32799 04680 89939 93013 49034 … (Folge A014549 in OEIS)

als Gaußkonstante bezeichnet.

Herleitung der Integraldefinition

Folgende kartesische Koordinatengleichung ist für die Lemniskate von Bernoulli mit der Brennweite <math>f</math> gültig:

Daraus resultiert nachfolgende Parametergleichung für die Lemniskate mit dieser Brennweite:

Für das gegebene Intervall von <math>t</math> wird die gesamte Kurve der Lemniskate genau einmal parametrisiert. Der Umfang wird durch Integration von denselben Grenzen für <math>t</math> von der Pythagoräischen Summe der ersten Ableitungen bezüglich <math>t</math> berechnet:

<math>\begin{align}

U &= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{\biggl(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x(t)\biggr)^2 + \biggl(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}y(t)\biggr)^2}\ \mathrm{d}t\\ &= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{\biggl(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\sqrt{2}f\sin(t)}{\cos(t)^2 + 1}\biggr)^2 + \biggl(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\sqrt{2}f\sin(t)\cos(t)}{\cos(t)^2 + 1}\biggr)^2}\ \mathrm{d}t\\ &= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{\biggl(\frac{\sqrt{2}f\cos(t)[3 - \cos(t)^2]}{[\cos(t)^2 + 1]^2}\biggr)^2 + \biggl(\frac{\sqrt{2}f[3\cos(t)^2 - 1]}{[\cos(t)^2 + 1]^2}\biggr)^2}\ \mathrm{d}t\\ &= \int_{0}^{2\pi} \frac{\sqrt{2}f}{\sqrt{\cos(t)^2 + 1}}\ \mathrm{d}t = 4\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sqrt{2}f}{\sqrt{\cos(t)^2 + 1}}\ \mathrm{d}t = 4\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sqrt{2}f}{\sqrt{\sin(t)^2 + 1}}\ \mathrm{d}t\\ &= 4\int_{0}^{1} \biggl[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin(x)\biggr]\frac{\sqrt{2}f}{\sqrt{1 + x^2}}\ \mathrm{d}x = 4\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{2}f}{\sqrt{1 - x^4}} \ \mathrm{d}x \end{align}</math>

Der maximale Durchmesser der Lemniskate von Bernoulli beträgt <math>2\sqrt{2}f</math> und die lemniskatische Konstante ist als Quotient des Vollumfangs dividiert durch den maximalen Durchmesser definiert:

<math>\varpi = \frac{U}{2\sqrt{2}f} = 2\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \,\mathrm{d}x</math>

Eigenschaften

Eulersche Betafunktion

Mit der Eulerschen Betafunktion <math>\Beta</math> und der Gammafunktion <math>\Gamma</math> gilt

<math>\varpi = \tfrac{1}{4}\sqrt{2}\,\Beta(\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{4}) = \tfrac{1}{2}\,\Beta(\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}) = \Gamma(\tfrac{1}{4})^2 / \bigl(2 \sqrt{2\pi}\bigr).</math>

Deswegen gilt auch das Folgende:

<math>\int_{0}^{\infty} e^{-x^4}\mathrm dx=\frac{\sqrt[4]{\pi}\cdot\sqrt{\varpi}}{2\cdot\sqrt[4]{2}}</math>

Dirichletsche Betafunktion

Ebenso kann die lemniskatische Konstante mit der Ableitung der Dirichletschen Betafunktion auf folgende zwei Weisen dargestellt werden:

<math>\varpi = \pi^{1/2} \exp\bigl[\beta'(0)\bigr]</math>

<math>\varpi = 2^{-1/2}\pi \exp\left[\frac{1}{2}\,\gamma - \frac{2}{\pi}\beta'(1)\right]</math>

Das Kürzel <math> \gamma</math> drückt hierbei die Euler-Mascheroni-Konstante aus.

Dabei gilt nach der Abel-Plana-Formeldefinition für die Dirichletsche Betafunktion:

<math>\beta(x) = \frac{1}{2} + \int_{0}^{\infty} \frac{\sin[x\arctan(y)]}{2\,(y^2+1)^{x/2}} \operatorname{csch}\bigl(\frac{\pi}{2}\,y\bigr)\,\mathrm{d}y</math>

Und somit gilt für die Ableitung der Dirichletschen Betafunktion:

<math>\beta'(x) = \int_{0}^{\infty} \frac{2\arctan(y)\cos[x\arctan(y)] - \ln(y^2+1)\sin[x\arctan(y)]}{4\,(y^2+1)^{x/2}} \operatorname{csch}\bigl(\frac{\pi}{2}\,y\bigr)\,\mathrm{d}y</math>

Unendliche Summen

Gauß fand die Beziehung

<math>\varpi = \pi / \operatorname{agm}(1;\sqrt{2})</math>

mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel agm und gab auch eine schnell konvergierende Reihe

<math>\varpi = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k}^{\!2} \frac{1}{2^{5k}}</math>

mit Summanden der Größenordnung <math>\frac{1}{k2^k}</math> an.

Außerdem erkannte Carl Friedrich Gauß folgenden Zusammenhang:

<math>\varpi = 4\operatorname{arcsl}(\tfrac{1}{2}) + 2\operatorname{arcsl}(\tfrac{7}{23})</math>

<math>\varpi = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{2k}{k} \frac{1}{4^{k}(4k+1)}\biggl[4\left(\frac{1}{2}\right)^{4k+1}+2\left(\frac{7}{23}\right)^{4k+1}\biggr]</math>

Dabei wird mit <math>\operatorname{arcsl}</math> der Lemniskatische Arkussinus ausgedrückt.

Weitere Arcussinus-Lemniscatus-Summen von diesem Schema können so erzeugt werden:

<math>\varpi = 4\operatorname{arcsl}(a) + 2\operatorname{arcsl}\{\tan[\tfrac{1}{4}\pi - 2\arctan(a^2)]\}</math> mit <math>0 \leq a \leq 1</math>

Die Auswertung

<math>\varpi = 2 \sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k} \frac{1}{(4k+1) 2^{2k}}</math>

des elliptischen Integrals ergibt eine ähnliche Reihe, die jedoch sehr viel langsamer konvergiert, da die Glieder von der Größenordnung <math>\frac{1}{k^{3/2}}</math> sind. Sehr schnell konvergiert die Reihe in

<math>\varpi = \pi \biggl[\sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^k\,e^{-\pi k^2}\biggr]^2 = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \biggl[\sum_{k=-\infty}^\infty \,e^{-\pi k^2}\biggr]^2</math>

mit Summanden der Größenordnung <math>e^{- \pi k^2}</math>.

Auch sehr schnell konvergiert folgende Reihe:

<math>\varpi = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \sum_{k=-\infty}^\infty \operatorname{sech}(\pi k)</math>

Niels Nielsen stellte 1906 mit Hilfe der Kummerschen Reihe der Gammafunktion einen Zusammenhang mit der Eulerschen Konstante <math>\gamma</math> her:<ref>Niels Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. Teubner, Leipzig 1906, S. 201 (der korrekte Faktor vor der Summe ist 2/π statt 2)</ref>

<math>\log\varpi = \tfrac12\gamma - \tfrac12\log2 + \log\pi + \frac2{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{\log(2k+1)}{2k+1}</math>

Theodor Schneider bewies 1937 die Transzendenz von <math>\varpi</math>.<ref>Theodor Schneider: Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale (11. März 1936), Mathematische Annalen 113, 1937, S. 1–13</ref> Gregory Chudnovsky zeigte 1975, dass <math>\Gamma(1/4)</math> und somit auch <math>\varpi</math> algebraisch unabhängig von <math>\pi</math> ist.<ref>G. V. Choodnovsky: Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis, Notices of the AMS 22, 1975, S. A-486 (englisch; vorläufiger Bericht)</ref><ref>Gregory V. Chudnovsky: Contributions to the theory of transcendental numbers, American Mathematical Society, 1984, ISBN 0-8218-1500-8, S. 8 (englisch)</ref>

Unendliche Produkte

Analog zum Wallisschen Produkt lassen sich für die lemniskatische Konstante folgende Produktreihen entwickeln:

<math>\varpi = 2\prod_{k=0}^{\infty}\frac{(4k+3)(4k+4)}{(4k+2)(4k+5)} = \sqrt{2} \prod_{k=0}^{\infty}\frac{(4k+2)(4k+4)}{(4k+1)(4k+5)}</math>

Folgende Produktreihen konvergieren sehr schnell:

<math>\varpi = \pi \prod_{k=1}^{\infty} \tanh(\pi k/2)^2 = \frac{\pi}{\sqrt[4]{2}} \prod_{k=1}^{\infty} \tanh(\pi k)^2</math>

Elliptische Integrale

Vollständige elliptische Integrale K und E

Datei:Lemniscate constant as an integral.png

Lemniskatisch elliptische Integrale

Mit dem vollständigen elliptischen Integral erster Art lässt sich die lemniskatische Konstante auf verschiedene Weise darstellen:

<math>\varpi = \sqrt{2}K\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 4(\sqrt{2}-1)K[(\sqrt{2}-1)^2] = \sqrt[4]{27}(\sqrt{3}-1)K\left[\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{2}-\sqrt[4]{3})\right] =</math>

<math>= 8(\sqrt{2}+1)^2(\sqrt[4]{2}-1)^2K[(\sqrt{2}+1)^2(\sqrt[4]{2}-1)^4] = 5\sqrt{2}(\sqrt{5}-2)K\left[\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{5}-2)(3-2\sqrt[4]{5})\right]</math>

Die lemniskatische Konstante kann auch ausschließlich mit Ellipsenumfängen und somit mit elliptischen Integralen zweiter Art dargestellt werden:

<math>\varpi = (2+\sqrt{2}) E[(\sqrt{2}-1)^2]-2 E\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) =</math>

<math>= \frac{3}{2}(2\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt[4]{27}-\sqrt[4]{3}) E\left[\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{2}-\sqrt[4]{3})\right] - \frac{1}{2}(3\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{27}-3\sqrt{2}) E\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)</math>

Dabei ist E(k) das Verhältnis des Viertelumfangs zur längeren Halbachse bei derjenigen Ellipse, bei welcher die numerische Exzentrizität den Wert k annimmt.

Liste bestimmter elliptischer Integrale erster Art

Folgende weitere Integrale involvieren die lemniskatische Konstante:

<math>\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^4+1}} \,\mathrm dx = \frac{\varpi}{2\sqrt{2}}</math>

<math>\int_{0}^{1} \frac{1}{(1-x^4)^{3/4}} \,\mathrm dx = \frac{\varpi}{\sqrt{2}}</math>

<math>\int_{0}^{1} \frac{1}{(1-x^2)^{3/4}} \,\mathrm dx = \varpi</math>

<math>\int_{0}^{\infty} \sqrt{\operatorname{sech}(x)} \,\mathrm dx = \varpi</math>

<math>\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\operatorname{sec}(x)} \,\mathrm dx = \varpi</math>

Herleitung der elliptischen Integrale zweiter Art

Wie im Artikel zur Legendreschen Identität bewiesen wird (siehe Gleichung <math>(\ast)</math>), gilt die Beziehung

<math>\left[\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \, \mathrm{d}x \right] \, \left[\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^4}} \, \mathrm{d}x \right] = \frac{\pi}{4}</math>.

Wegen

<math>\varpi = 2\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \, \mathrm{d}x</math>

folgt daraus

<math>\int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^4}} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\varpi}</math>.

Liste bestimmter elliptischer Integrale zweiter Art

Aus dem soeben gezeigten Endresultat lassen sich folgende Integrale herleiten:

<math>

\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x^4 + 1}}{(x^2 + 1)^2} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\varpi + \frac{\pi}{\varpi}\right) </math>

<math>\int_{0}^{1} \frac{x^2}{(x^4+1)^{3/2}} \,\mathrm dx = \frac{\pi}{4\sqrt{2}\,\varpi}</math>

<math>\int_{0}^{1} \frac{1}{(1-x^2)^{1/4}} \,\mathrm dx = \frac{\pi}{\varpi}</math>

<math>\int_{0}^{\infty} \sqrt{\operatorname{sech}(x)^3} \, \mathrm dx = \frac{\pi}{\varpi}</math>

Weitere bestimmte elliptische Integrale

Diese beiden elliptischen Integrale dritter Art sind zueinander identisch:

<math>\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)\sqrt{x^4 + 1}} \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^4 + 1}} \,\mathrm{d}x</math>

In der Stammfunktion von der ersten Funktion bewirkt die Substitution von x durch die Kehrwertfunktion 1/x und die anschließende Negativsetzung die Bildung der Stammfunktion von der zweiten Funktion. Außerdem gilt folgende Aufsummierung:

<math>\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)\sqrt{x^4 + 1}} \,\mathrm{d}x + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^4 + 1}} \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^4 + 1}} \,\mathrm{d}x = \frac{\varpi}{\sqrt{2}}</math>

Daraus folgt:

<math>\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)\sqrt{x^4 + 1}} \,\mathrm{d}x = \frac{\varpi}{2\sqrt{2}}</math>

<math>\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^4 + 1}} \,\mathrm{d}x = \frac{\varpi}{2\sqrt{2}}</math>

Wie bereits oben erwähnt ist diese Integralformel gültig:

<math>\Gamma\left(\frac{5}{4}\right) = \int_{0}^{\infty} \exp(-x^4)\,\mathrm dx = 2^{-5/4}\pi^{1/4}\varpi^{1/2}</math>

Basierend auf dem Eulerschen Ergänzungssatz über die Gammafunktion hat folgendes Integralprodukt den nachfolgenden Wert:

<math>\biggl[\int_{0}^{\infty} \exp(-x^4)\,\mathrm dx\biggr] \biggl[\int_{0}^{\infty} x^2 \exp(-x^4)\,\mathrm dx\biggr] = \frac{\pi}{8\sqrt{2}}</math>

Im Zusammenhang mit der Gammafunktion gilt somit jenes Integral:

<math>\frac{1}{4}\Gamma\left(\frac{3}{4}\right) = \int_{0}^{\infty} x^2 \exp(-x^4)\,\mathrm dx = 2^{-9/4}\pi^{3/4}\varpi^{-1/2}</math>

Ellipsenumfang

Datei:Ellipse shape parameters (a,b).svg

Ellipse mit den Werten: a = √2b und U = (2ϖ + 2π/ϖ)b

Bei einer Ellipse, in welcher sich die größere Halbachse zur kleineren Halbachse in der Quadratwurzel aus Zwei verhält, nimmt das Verhältnis des Ellipsenumfangs zur kleineren Halbachse den Wert 2ϖ + 2π/ϖ an. Diese Tatsache wird im nun Folgenden bewiesen:

<math>\frac{U}{b} = 4\sqrt{2}E\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 4\int_{0}^{1} \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sqrt{2-2x^2}\right)^2 + 1} \,\mathrm{d}x = 4\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{2x^2}{1-x^2} + 1} \,\mathrm{d}x = 4\int_{0}^{1} \frac{1+x^2}{\sqrt{1-x ^4}} \mathrm{d}x =</math>

<math>= 4\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x ^4}} \mathrm{d}x + 4\int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x ^4}} \mathrm{d}x = 2\varpi + \frac{2\pi}{\varpi}</math>

Somit gilt für diese Ellipse:

<math>U = (\sqrt{2}\varpi + \sqrt{2}\pi\varpi^{-1})a = (2\varpi + 2\pi\varpi^{-1})b</math>

In dieser Tabelle werden mehrere Ellipsen mit ihren Umfangsverhältnissen aufgelistet:

Kleinere Halbachse/Größere Halbachse	Umfang/Größere Halbachse
<math>\tfrac{1}{2}\sqrt{2}</math>	<math>\sqrt{2}\varpi + \sqrt{2}\pi\varpi^{-1}</math>
<math>2\sqrt[4]{2}(\sqrt{2}-1)</math>	<math>2\varpi + 2(\sqrt{2}-1)\pi\varpi^{-1}</math>
<math>2^{13/8}(\sqrt{2}+1)^{5/2}(\sqrt[4]{2}-1)^{2}</math>	<math>2(\sqrt{2}+1)^2(\sqrt[4]{2}-1)\varpi + 2(\sqrt{2}+1)^2(\sqrt[4]{2}-1)^2\pi\varpi^{-1}</math>

Siehe auch

Literatur

Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen. Springer-Verlag, Berlin 1957, S. 64.
Carl Ludwig Siegel: Transzendente Zahlen. Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 81–84.
John Todd: The Lemniscate Constants. Institute of Technology, Kalifornien 1975
A. I. Markuschewitsch: Analytic Functions. Kapitel 2 in: A. N. Kolmogorov, A. P. Juschkewitsch (Hrsg.): Mathematics of the 19th Century. Geometry, analytic function theory. Birkhäuser, Basel 1996, ISBN 3-7643-5048-2, S. 133–136.
Jörg Arndt, Christoph Haenel: π. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2. Auflage, Springer, 2000, S. 94–96 (hier ist die griechische Minuskel ϖ typographisch korrekt wiedergegeben)
Steven R. Finch: Gauss’ Lemniscate constant, Kapitel 6.1 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 420–423 (englisch)
Hans Wußing, Olaf Neumann: Mathematisches Tagebuch 1796–1814 von Carl Friedrich Gauß. Mit einer historischen Einführung von Kurt-R. Biermann. Ins Deutsche übertragen von Elisabeth Schuhmann. Durchgesehen und mit Anmerkungen versehen von Hans Wußing und Olaf Neumann. 5. Auflage, 2005, Eintrag [91a].

Weblinks

Eric W. Weisstein: Lemniscate Constant. In: MathWorld (englisch).
Eric W. Weisstein: Gauss's Constant. In: MathWorld (englisch).
Folge A062540 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von ϖ)
Folge A053002 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von ϖ/π)

Einzelnachweise