Lemma von Nakayama

Das Lemma von Nakayama, benannt nach dem japanischen Mathematiker Tadashi Nakayama, ist der folgende Satz der kommutativen Algebra<ref>Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Satz 2.5.24</ref>:

Es sei <math>M</math> ein endlich erzeugter nichttrivialer <math>R</math>-Modul und <math>\mathfrak{a}</math> ein Ideal, das im Jacobson-Radikal von <math>R</math> liegt. Dann ist <math>\mathfrak{a}M\neq M</math>.

Beweis

Wir nehmen <math>\mathfrak{a}M=M</math> an. Es sei <math>\{u_1, \ldots, u_n\}</math> ein minimales Erzeugendensystem von <math>M</math>. Da <math>M</math> nichttrivial ist, folgt <math>n\ge 1</math> und <math>u_n \not=0</math>.

Da nach Annahme <math>u_n\in\mathfrak{a}M</math>, gäbe es dann eine Gleichung der Form <math>u_n = \sum_{i=1}^n a_i u_i</math> mit <math>a_i\in\mathfrak{a}</math>, also <math>(1-a_n)u_n = \sum_{i=1}^{n-1} a_i u_i</math>.

Da <math>a_n</math> im Jacobson-Radikal liegt, ist der Faktor <math>1-a_n</math> eine Einheit. Das Erzeugendensystem ist also nicht minimal und damit die Annahme widerlegt.

Folgerungen

Ist <math>M</math> ein endlich erzeugter <math>R</math>-Modul, <math>N</math> ein Untermodul und <math>\mathfrak{a}\subset J(R)</math> ein Ideal, so gilt

<math>M=\mathfrak{a}M+N\ \Rightarrow\ M = N</math>.

Diese Folgerung, die zu obigem Lemma äquivalent ist und daher auch als Lemma von Nakayama bezeichnet wird<ref>Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6, Lemma IV.2.2</ref>, kann man zum Heben von Basen verwenden:

Es seien <math>R</math> ein lokaler Ring, <math>\mathfrak{m}</math> sein maximales Ideal und <math>\kappa := R/\mathfrak{m}</math> der Restklassenkörper.

Sind dann <math>x_1, \ldots, x_n</math> Urbilder einer Basis des <math>\kappa</math>-Vektorraums <math>M/\mathfrak{m}M</math>, so erzeugen die <math>x_i</math> den Modul <math>M</math>.

Einzelnachweise