Kugelkondensator

Unter einem Kugelkondensator oder sphärischen Kondensator<ref name="phil">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> versteht man einen elektrischen Kondensator, der aus zwei konzentrischen, gegeneinander isolierten, metallischen Kugeloberflächen besteht.

Datei:Spherical Capacitor.svg

Kugelkondensator mit den Radien <math>R_1</math> und <math>R_2</math>

Für die Kapazität eines Kugelkondensators mit den Radien <math>R_1</math> und <math>R_2</math> gilt

<math>C=4 \pi \varepsilon \frac{R_2 R_1}{R_2 - R_1}</math>, mit <math>\varepsilon= \varepsilon_0\varepsilon_r</math>

ε₀ ist hierbei die elektrische Feldkonstante. ε_r ist die Dielektrizitätszahl, welche im Vakuum gleich 1 ist.

Herleitung der Formel für die Kapazität

Für eine infinitesimal kleine Kugelschale zwischen R₁ und R₂ gilt für das infinitesimal kleine Reziproke der Kapazität der bekannte Zusammenhang des Plattenkondensators:

<math>\mathrm d\frac{1}{C} = \frac{1}{\varepsilon}\cdot\frac{\mathrm d r}{A(r)} = \frac{1}{\varepsilon}\cdot\frac{\mathrm d r}{4\pi r^2}</math>

wobei A(r) die Oberfläche einer Kugel ist. Integriert man nun, so ergibt sich:

<math>\frac{1}{C} = \int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{1}{\varepsilon}\cdot\frac{\mathrm d r}{4\pi r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon}\cdot\left ( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right )</math>

Umgestellt nach der Kapazität C ergibt dies oben genannte Formel.

Alternativ lässt sich auch die Definition <math>C = \frac{Q}{U}</math> nutzen, wenn man die Formel im Abschnitt Spannung zwischen innerer und äußerer Platte verwendet.

Sonderfälle

Sehr kleiner Abstand

Wenn <math>d=R_2 - R_1 \ll R_1 </math>, kann man angenähert <math>R_1=R_2=R</math> setzen und erhält <math>C=4 \pi \varepsilon \frac{R^2}{d} </math>.

Sehr großer Abstand

Datei:Kondensator cgs cm.jpg

Papierkondensator mit der Kapazität 5000 cm.

Wenn <math>R_1 \ll R_2 </math> ist, kann man angenähert <math>R_2 - R_1 = R_2</math> setzen und erhält <math>C=4 \pi \varepsilon R_1 </math>. Die Kapazität wird dann praktisch nur vom Radius der Innenkugel bestimmt.

Diese Näherung beschreibt auch die Kapazität einer freistehenden Kugel (auch als Kugelelektrode<ref name="phil" /> bezeichnet), da hier die Gegenelektrode sehr weit entfernt ist (<math>R_2 \to \infty</math> und somit <math> R_1 \ll R_2 </math>). Der Radius einer solchen Kugelelektrode im Vakuum diente im CGS_Einheitensystem als Maßeinheit der Kapazität mit folgender Äquivalenz:

<math>1\,\mathrm{cm}\equiv 4\pi\varepsilon_0\cdot 1\,\mathrm{cm}\approx 1{,}11265\,\mathrm{pF}</math>

Ladung und Ladungsdichte

Beim Kugelkondensator geht man davon aus, dass die beiden Elektroden mit der Ladung <math>Q</math> und <math>-Q</math> entgegengesetzt geladen sind. Diese Ladungen befinden sich als Flächenladungen auf den nach innen gewandten Kugelflächen. Dann lässt sich die Ladungsdichte schreiben als <math>\varrho(r) =\frac{Q}{4\pi R_1^2} \, \delta(r-R_1)-\frac{Q}{4\pi R_2^2} \, \delta(r-R_2)</math> , wobei <math>\delta</math> die Dirac’sche Delta-Distribution ist.

Elektrisches Feld

Der Vektor des elektrischen Feldes zwischen den zwei Kondensatorschalen besteht wegen der Kugelsymmetrie nur aus der radialen Komponente <math>E_r</math>. Diese lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

<math>E_r(r)=\frac{Q}{4\pi r^2 \varepsilon}</math> wobei <math>R_1<r<R_2</math>

Das Feld ist nicht homogen, sondern abhängig vom Abstand <math>r</math> zum Mittelpunkt des Kondensators. Innerhalb der Elektroden und außerhalb des Kondensators ist kein elektrisches Feld vorhanden.

Elektrisches Potential

Das elektrische Potential ist ein nur von <math>r</math> abhängiges Skalarfeld und berechnet sich, bis auf eine additive Konstante, als <math>\varphi(r)=-\int_\infty^r E_r(r')\, dr'</math>. Dieses Integral kann abschnittsweise ermittelt werden:

Für <math>r\ge R_2</math> ist <math>\varphi(r)=0</math>.
Für <math>R_1<r<R_2</math> ist <math>\varphi(r)=-\int_{R_2}^r E_r(r') dr'=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}

\, \left(\frac1{r}-\frac1{R_2}\right)</math>.

Für <math>r\le R_1</math> ist <math>\varphi(r)=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}

\, \left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)</math>.

Spannung zwischen innerer und äußerer Platte

Die Spannung zwischen der inneren und äußeren Kugel berechnet sich wie folgt:

<math>U=\varphi(R_1)-\underbrace{\varphi(R_2)}_{=0}=\int_{R_1}^{R_2} E_r(r) \,\mathrm dr\,=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0\varepsilon_r}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)</math>

Literatur

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Einzelnachweise