Kronecker-Symbol

{{#if: beschreibt das Kronecker-Symbol im Kontext quadratischer Reste in der Zahlentheorie. Für das Delta-Symbol <math>\delta_{ij}</math> von Kronecker siehe Kronecker-Delta.

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In der Mathematik ist das Kronecker-Symbol eine Verallgemeinerung des Jacobi-Symbols <math>\left(\frac{n}{m}\right)</math> auf beliebige ganzzahlige <math>m</math>. Es wurde von dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker eingeführt<ref>Leopold Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Jahrgang 1885, S. 770.</ref> und wird daher nach ihm benannt.

Definition

Es sei <math>m</math> eine ganze Zahl ungleich 0 mit der Primfaktorzerlegung

<math>m = u \cdot p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k},</math>

wobei <math>u</math> eine Einheit ist (d. h. <math>u = \pm 1</math>) und die <math>p_i</math> Primzahlen bezeichnen. Ist <math>n</math> eine ganze Zahl, so ist das Kronecker-Symbol <math>\left(\frac{n}{m}\right)</math> definiert durch

<math> \left(\frac{n}{m}\right) = \left(\frac{n}{u}\right) \prod_{i=1}^k \left(\frac{n}{p_i}\right)^{e_i}. </math>

Für ungerade <math>p_i</math> ist die Zahl <math>\left(\frac{n}{p_i}\right)</math> einfach das gewöhnliche Legendre-Symbol. Der Fall <math>p_i = 2</math> ist getrennt zu betrachten. Wir definieren <math>\left(\frac{n}{2}\right)</math> durch

<math> \left(\frac{n}{2}\right) =

\begin{cases}

0 & \mbox{falls } n \mbox{ gerade,} \\
1 & \mbox{falls } n \equiv \pm 1 \pmod{8},  \\

-1 & \mbox{falls } n \equiv \pm 3 \pmod{8}. \end{cases}</math>

Der Faktor <math>\left(\frac{n}{u}\right)</math> in der Definitionsgleichung ist für <math>u = 1</math> gleich <math>1</math> (Jacobi-Symbol). Für <math>u = -1</math> definiert man

<math> \left(\frac{n}{-1}\right) = \begin{cases} -1 & \mbox{falls }n < 0, \\ 1 & \mbox{falls } n \ge 0. \end{cases} </math>

Schließlich setzt man noch

<math>\left(\frac{n}{0}\right)=\begin{cases}1&\text{falls }n=\pm1,\\0&\text{sonst.}\end{cases}</math>

Durch diese Erweiterungen lässt sich das Kronecker-Symbol für alle ganzen Zahlen <math>n, m </math> definieren.

Bei einigen Autoren wird das Kronecker-Symbol nur unter einschränkenden Voraussetzungen definiert, beispielsweise <math>n \equiv 0, 1 \bmod 4</math> und <math>m>0</math>.

Für ungerades <math>m</math> stimmt das Kronecker-Symbol mit dem Jacobi-Symbol überein.

Eigenschaften

Das Kronecker-Symbol teilt – mit gewissen Einschränkungen – viele grundlegende Eigenschaften mit dem Jacobi-Symbol:

<math>\left(\tfrac an\right) = \pm1,</math> falls <math>\mathop{\rm ggT}(a,n) = 1</math>, sonst <math>\left(\tfrac an\right)=0</math>.
<math>\left(\tfrac{ab}n\right) = \left(\tfrac an\right)\left(\tfrac bn\right),</math> außer wenn <math>n = -1</math> gilt und eine der Zahlen <math>a,b</math> gleich 0 ist und die andere negativ.
<math>\left(\tfrac a{mn}\right) = \left(\tfrac am\right)\left(\tfrac an\right)</math>, außer wenn <math>a = -1</math> gilt und eine der Zahlen <math>m,n</math> gleich 0 ist und die andere einen ungeraden Anteil (siehe unten) kongruent zu <math>3\bmod4</math> besitzt.
Für <math>n > 0</math> gilt <math>\left(\tfrac an\right) = \left(\tfrac bn\right)</math> wenn <math>a\equiv b\bmod\begin{cases}4n,&\text{falls } n\equiv2\pmod 4,\\n&\text{sonst.}\end{cases}</math> Wenn <math>a</math> und <math>b</math> das gleiche Vorzeichen haben, gilt diese Aussage auch für <math>n < 0</math>.
Für <math>a \not\equiv 3\pmod4</math>, <math>a \ne 0</math> gilt <math>\left(\tfrac am\right) = \left(\tfrac an\right)</math>, wenn <math>m \equiv n\bmod\begin{cases}4|a|,&\text{falls }a\equiv2\pmod 4,\\|a|&\text{sonst.}\end{cases}</math>

Zu beachten ist, dass das Kronecker-Symbol nicht die gleiche Verbindung zum Begriff des quadratischen Rests hat wie das Jacobi-Symbol. Insbesondere kann für gerades <math>n</math> das Kronecker-Symbol <math>\left(\tfrac a n\right)</math> Werte annehmen, die unabhängig davon sind, ob <math>a</math> ein quadratischer Rest oder Nichtrest modulo <math>n</math> ist.

Quadratische Reziprozität

Das Kronecker-Symbol erfüllt die folgende Version des quadratischen Reziprozitätsgesetzes:

Für jede ganze Zahl <math>n \ne 0</math> bezeichne <math>n'</math> den ungeraden Anteil: <math>n = 2^e n'</math> mit ungeradem <math>n'</math> (für <math>n = 0</math> wird <math>n' = 1</math> gesetzt). Dann gilt die folgende symmetrische Version des quadratischen Reziprozitätsgesetzes für jedes Paar von teilerfremden ganzen Zahlen <math>m,n</math>:

<math>\left(\frac mn\right)\left(\frac nm\right)=\pm(-1)^{\frac{m'-1}2\frac{n'-1}2}</math>

Dabei gilt das Pluszeichen von <math>\pm</math>, falls <math>m \ge 0</math> oder <math>n \ge 0</math> zutrifft, und das Minuszeichen, falls <math>m < 0</math> und <math>n < 0</math>.

Es gibt auch eine unsymmetrische Version der quadratischen Reziprozität, die für jedes Paar teilerfremder ganzer Zahlen <math>m,n</math> richtig ist:

<math>\left(\frac mn\right)\left(\frac{n}{|m|}\right)=(-1)^{\frac{m'-1}2\frac{n'-1}2}.</math>

Für eine beliebige ganze Zahl <math>n</math> sei <math>n^* = (-1)^{(n'-1)/2}n</math>. Dann gibt es eine weitere äquivalente, unsymmetrische Version, nach der

<math>\left(\frac{m^*}{n}\right) = \left(\frac{n}{|m|}\right)</math>

für beliebige ganze Zahlen <math>m,n</math> (nicht notwendig teilerfremd) gilt.

Die Ergänzungssätze lassen sich ebenfalls für das Kronecker-Symbol verallgemeinern. Diese Gesetze folgen unmittelbar aus jeder der obigen Formulierungen des quadratischen Reziprozitätsgesetzes (anders als beim Legendre-Symbol oder beim Jacobi-Symbol, bei denen sowohl das grundlegende Gesetz als auch die Ergänzungssätze benötigt werden, um die quadratische Reziprozität vollständig zu beschreiben).

Für eine beliebige ganze Zahl <math>n</math> gilt

<math>\left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{\frac{n'-1}{2}},</math>

für eine beliebige ungerade ganze Zahl <math>n</math>

<math>\left(\frac{2}{n}\right) = (-1)^{\frac{n^2-1}{8}}.</math>

Weblinks

{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Kronecker-Symbol. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}

Einzelnachweise