Kriterium von Raabe
Das Raabesche Kriterium oder das Kriterium von Raabe-Duhamel (von Joseph Ludwig Raabe und Jean Marie Constant Duhamel) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also ein Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.
Formulierung
1. Fassung
Sei eine unendliche Reihe
- <math>S = \sum_{n=0}^\infty a_n</math>
mit positiven reellen Summanden <math>a_n</math> gegeben, die eine monoton fallende Folge bilden.
Dann ist <math>S</math> konvergent, falls die Folge
- <math>\left(\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right)n\right)_{n\in\N}</math>
nach oben durch ein <math>-\alpha<-1</math> beschränkt ist. Sind alle Glieder dieser Folge größer als <math>-1</math>, so ist <math>S</math> divergent.
2. Fassung
Sei eine unendliche Reihe
- <math>S = \sum_{n=0}^\infty a_n</math>
gegeben.
Dann ist <math>S</math> absolut konvergent, falls für eine Zahl <math>\beta>1</math> fast immer (d. h. für <math>n\geq n_0</math>) gilt:
- <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq1-\frac{\beta}{n}</math>.
Sie divergiert jedoch, wenn fast immer <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq1-\frac{1}{n}</math> ausfällt.
Anmerkungen
Wie immer bei der Betrachtung des Konvergenzverhaltens von Reihen muss dieses Kriterium nur für fast alle Indizes erfüllt sein. Durch Umstellen führt das Kriterium auf eine Abschätzung von <math>S</math> durch
- <math>T = \sum_{n=0}^\infty b_n</math>
nach dem Majorantenkriterium, wobei <math>T</math> die Teleskopreihe mit <math>b_n=c_n-c_{n+1}</math> über der Nullfolge <math>c_n=\frac{n-1}{\alpha-1}a_n</math> ist.
Mit Obigem ergibt sich eine Reihenrest-Abschätzung:
- <math>S-S_N=\sum_{n=N+1}^\infty a_n\le\frac{N}{\alpha-1}a_{N+1}</math>.
Anwendbarkeit
Diese Kriterien sind schwerer anzuwenden als das Wurzelkriterium bzw. Quotientenkriterium, liefern jedoch in dort ungewissen Fällen oft noch Konvergenzaussagen. Sie werden z. B. angewandt, um bei Potenzreihen das Verhalten auf dem Rand des Konvergenzbereichs zu bestimmen.
Literatur
- Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer 1996 (6. Aufl.), ISBN 3-540-59111-7