Komplexprodukt

Das Komplexprodukt, meist einfach Produkt genannt, ist ein Begriff aus einem mathematischen Teilgebiet, der Gruppentheorie.

Ist <math>(M,\cdot)</math> ein Magma (zum Beispiel eine Gruppe) und sind <math>X</math> und <math>Y</math> Teilmengen von <math>M</math>, dann ist das Komplexprodukt von <math>X</math> mit <math>Y</math> definiert als

<math>X\cdot Y := \{x\cdot y\mid x\in X, y\in Y\}</math>.

Es sind außerdem die Kurzschreibweisen

<math>\begin{align}

XY & := X\cdot Y\\ xY & := \{x\}\cdot Y\\ Xy & := X\cdot \{y\}\end{align}</math> üblich, wobei <math>x,y</math> Elemente des Magmas sind.

Weil das Komplexprodukt auf den Teilmengen von <math>M</math> eine innere Verknüpfung definiert, macht es die Potenzmenge <math>P(M)</math> selbst zum Magma.

Eigenschaften

Ist das Magma M assoziativ (solche Magmen nennt man Halbgruppen), so ist auch <math>P(M)</math> mit dem Komplexprodukt assoziativ (also eine Halbgruppe).
Ist das Magma M kommutativ, so ist auch <math>P(M)</math> mit dem Komplexprodukt kommutativ.
Ist das Magma M ein Monoid, so ist auch <math>P(M)</math> mit dem Komplexprodukt ein Monoid. Das neutrale Element ist <math>\{e\}</math>, wobei <math>e \in M</math> das neutrale Element von <math>M</math> ist.
Ist das Magma M eine Gruppe, so ist <math>P(M)</math> mit dem Komplexprodukt jedoch keine Gruppe, sondern nur ein Monoid. Dies sieht man zum Beispiel daran, dass die leere Menge in <math>P(M)</math> absorbierend ist.
Das Komplexprodukt <math>UV</math> zweier Untergruppen <math>U</math> und <math>V</math> einer Gruppe ist eine Vereinigung von Linksnebenklassen von <math>V</math> und eine Vereinigung von Rechtsnebenklassen von <math>U</math>:

<math>UV = \bigcup_{u \in U} uV = \bigcup_{v \in V} Uv</math>

Sind <math>U</math> und <math>V</math> endliche Untergruppen einer Gruppe, dann gilt für die Mächtigkeit des Komplexprodukts die Gleichung

Das Komplexprodukt eines Normalteilers mit einer Untergruppe einer Gruppe ergibt eine Untergruppe. Genauer gesagt gilt für alle Untergruppen <math>U</math> und <math>V</math>, dass <math>UV</math> genau dann eine Untergruppe ist, wenn <math>UV=VU</math> gilt. Ist <math>U</math> oder <math>V</math> ein Normalteiler, so ist dies erfüllt. Insbesondere ist also in abelschen Gruppen das Komplexprodukt von Untergruppen eine Untergruppe.
Das Komplexprodukt von Nebenklassen <math>gN</math> und <math>hN</math> eines Normalteilers <math>N</math> ist <math>gN \cdot hN = (gh)N</math>. Mit diesem Produkt bilden die Nebenklassen von Normalteilern eine Gruppe, die Faktorgruppe von <math>G</math> nach <math>N</math>.
Ist <math>N</math> Normalteiler und <math>U</math> Untergruppe von <math>G</math>, die die Eigenschaften <math>N\cap U=\{e\}</math> und <math>N\cdot U = G</math> haben, dann ist <math>G</math> das innere semidirekte Produkt von <math>N</math> mit <math>U</math>. Zur Existenz einer solchen Untergruppe bei gegebenem Normalteiler sei auf den Satz von Schur-Zassenhaus verwiesen.

Literatur

Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9