Satz von Schur-Zassenhaus

Der Satz von Schur-Zassenhaus ist ein mathematischer Satz in der Gruppentheorie. Der nach Issai Schur und Hans Julius Zassenhaus benannte Satz lautet<ref>Rowen B. Bell, J. L. Alperin: Groups and Representations, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, Band 162, ISBN 0-387-94526-1 (Kapitel 9: The Schur-Zassenhaus-Theorem)</ref>:

Für eine endliche Gruppe <math>G</math> und einen Normalteiler <math>N \triangleleft G</math> mit <math>\operatorname{ggT}(|N|, [G:N])= 1</math> existiert eine Untergruppe <math>U \leq G</math> mit <math>G \,=\, NU</math> und <math>N \cap U \,=\, 1</math>. Die Gruppe <math>G</math> ist also das semidirekte Produkt <math>G = N \times_\theta U</math> aus <math>N</math> und <math>U</math>.

Die Untergruppe <math>U</math> in obigem Satz ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, aber man kann zeigen, dass je zwei solche Untergruppen konjugiert sind.

Beispiele

Die zyklische Gruppe <math>G=\Z/6\Z = \{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{5}\}</math> hat den Normalteiler <math>N=\{\overline{0},\overline{2},\overline{4}\}</math>. Da die Zahlen <math>|N|=3</math> und <math>[G:N]=2</math> teilerfremd sind, kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden. <math>U=\{\overline{0},\overline{3}\}</math> ist offenbar die einzige Untergruppe, die die Aussage des Satzes erfüllt. Da die Gruppe <math>G</math> abelsch ist, ist das semidirekte Produkt in diesem Fall sogar direkt.

Die symmetrische Gruppe <math>G=S_3=\{e,d,d^2,s_1,s_2,s_3\}</math> hat den Normalteiler <math>N=\{e,d,d^2\}</math>. Wegen <math>|N|=3</math> und <math>[G:N]=2</math> kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden, offenbar erfüllen die drei Untergruppen <math>U_i=\{e,s_i\},\,i=1,2,3</math> die Aussage des Satzes.

Die zyklische Gruppe <math>G=\Z/4\Z = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}</math> hat den Normalteiler <math>N=\{\overline{0},\overline{2}\}</math>. Hier sind <math>|N|=2</math> und <math>[G:N]=2</math> nicht teilerfremd, weshalb der Satz nicht anwendbar ist. Tatsächlich gibt es keine Untergruppe <math>U\subset G</math>, die die Aussage des Satzes erfüllt, denn eine solche müsste ein Element der Ordnung 2 haben, aber das einzige Element der Ordnung 2 ist <math>\overline{2}</math> und das liegt bereits in <math>N</math>. Dieses Beispiel zeigt, dass auf die Teilerfremdheit von <math>|N|</math> und <math>[G:N]</math> in obigem Satz nicht verzichtet werden kann.

Ist <math>N</math> irgendeine Gruppe, so zeigt das Beispiel <math>G=N \times N</math>, dass die Teilerfremdheitsbedingung nicht notwendig ist für das Bestehen einer Darstellung als semidirektes, ja sogar direktes, Produkt.

Einzelnachweise

Quellen

Andreas Nickel: Basiswissen Algebra (PDF; 544 kB), Universität Regensburg, S. 6