Komplexes Maß
Ein komplexes Maß ist eine Art Verallgemeinerung des Maßes aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es ist wie das Maß eine Funktion, die von einem Mengensystem, meist einer σ-Algebra, abbildet. Das komplexe Maß lässt jedoch als Wertemenge die komplexen Zahlen zu, d. h.
- <math>\mu:\mathcal{A}\to \mathbb{C}</math>
für ein Mengensystem <math>\mathcal{A}</math>.
Definition
Sei <math>\Omega</math> eine nichtleere Menge und <math>\mathcal{C} \subseteq 2^\Omega</math> eine Teilmenge der Potenzmenge von <math>\Omega</math> mit <math>\emptyset \in \mathcal{C}</math>.
Eine Mengenfunktion <math>\nu</math> von <math>\mathcal{C}</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> heißt komplexes Maß, wenn
- <math>\nu(\emptyset) = 0</math>
und für jede disjunkte Familie <math>(A_i)_{i \in \mathbb{N}}</math> mit <math>A_i \in \mathcal{C}</math> und <math>\textstyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i \in \mathcal{C}</math>
- <math>\nu\left(\bigcup_{i \in\mathbb{N}}A_i\right) = \sum_{i \in \mathbb{N}} \nu(A_i)</math>
gilt, wobei die Reihe <math>\textstyle \sum_{i \in \mathbb{N}} \nu(A_i)</math> absolut konvergieren muss, das heißt <math>\textstyle \sum_{i \in \mathbb{N}} |\nu(A_i)| < \infty </math>. Letztere Eigenschaft wird auch als <math>\sigma</math>-Additivität bezeichnet.
In den meisten Anwendungen ist das Mengensystem <math>\mathcal{C}</math> eine σ-Algebra, dann ist <math>\textstyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i</math> immer in <math>\mathcal{C}</math> enthalten.
Eigenschaften
Jedes endliche (Prä-)Maß ist ein komplexes Maß, wenn man den reellen Bildbereich des Maßes in die komplexen Zahlen einbettet.
Für ein komplexes Maß sind offensichtlich Real- und Imaginärteil signierte Maße. Da jedes signierte Maß als Differenz zweier positiver Maße geschrieben werden kann (Hahn-Jordan-Zerlegung), kann jedes komplexe Maß als Linearkombination von vier positiven Maßen geschrieben werden.
Siehe auch
Literatur
- Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 1999, ISBN 3-486-24789-1, Kap. 6.