Klassisches Runge-Kutta-Verfahren

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (nach Carl Runge und Wilhelm Kutta) ist ein spezielles explizites 4-stufiges Runge-Kutta-Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen (Gewöhnliche Differentialgleichungen). Eine abkürzende Bezeichnung dieses Verfahrens lautet RK4. Runge hat als erster (1895) ein mehrstufiges Verfahren angegeben und Kutta die allgemeine Form expliziter s-stufiger Verfahren.

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren verwendet – wie die weitaus meisten numerischen Lösungsverfahren für Differentialgleichungen – den Ansatz, Ableitungen (Differentialquotienten) durch Differenzenquotienten zu approximieren. Die dabei bei nichtlinearen Funktionen notwendigerweise auftretenden Fehler (es werden sämtliche höheren Glieder der Taylor-Entwicklung vernachlässigt) können durch geeignete Kombinationen verschiedener Differenzquotienten reduziert werden. Das klassische Runge-Kutta-Verfahren ist eine solche Kombination, die Diskretisierungsfehler bis zur dritten Ableitung kompensiert.

Details

Datei:Runge-Kutta slopes.svg

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren mittelt in jedem Schritt vier Hilfssteigungen (rot)

Sei

<math>

y'(t) = f\left(t, y(t)\right), \quad y(t_0) = y_0, \quad y \colon \R \to \R^d </math>

ein Anfangsproblem 1. Ordnung.

Mit der Schrittweite <math>h</math> besitzt das klassische Runge-Kutta-Verfahren zur Berechnung der Näherung <math>u_{i+1} \approx y(t_{i+1})</math> die Verfahrensfunktion

mit

<math>

\begin{align} k_1 &= f(t_i, u_i), \\ k_2 &= f(t_i + \frac{h}{2}, u_i + \frac{h}{2} k_1), \\ k_3 &= f(t_i + \frac{h}{2}, u_i + \frac{h}{2} k_2), \\ k_4 &= f(t_i + h, u_i + hk_3). \end{align} </math>

Die Rekursionsgleichung zur Berechnung der Näherung lautet dann

<math> u_{i+1} = u_i + h \cdot \Phi(t_i,u_i,h,f) = u_i + h \cdot \frac{1}{6}\left(k_1+2 k_2+ 2 k_3 +k_4 \right), \quad i=0,1,\dots</math>

Das Verfahren benötigt in jedem Schritt der Rekursion vier Auswertungen der Funktion <math>f</math>. Für mindestens viermal stetig differenzierbares <math>f</math> zeigt eine Taylor-Entwicklung nach der Schrittweite <math>h</math>, dass es sich bei dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren um ein Verfahren mit Konsistenzordnung 4 handelt.

Die charakteristischen Koeffizienten des Verfahrens können in einem Butcher-Tableau zusammengefasst werden zu:

<math>\begin{array}{c|cccc} 0 & & & & \\

               1/2    & 1/2 &     &     &       \\
               1/2    & 0   & 1/2 &     &       \\
               1      & 0   & 0   & 1   &       \\ \hline
                      & 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6

\end{array}</math>

Literatur

Ernst Hairer, Nørsett, Syvert P., Gerhard Wanner: Solving Ordinary Differential Equations. Band 1: Nonstiff Problems. 2. revised edition. Springer Verlag, Berlin u. a. 1993, ISBN 3-540-56670-8 (Springer series in computational mathematics 8), (Auch Nachdruck: ebenda 2008, ISBN 978-3-642-05163-0).
Peter Deuflhard, Folkmar Bornemann: Numerische Mathematik. Band 2: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. vollständige überarbeitete und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3-11-017181-3.

fa:‫روشهای رونگه−کوتا uk:Метод Рунге-Кутта