Kettenhomotopie

Im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra ist eine Kettenhomotopie eine Abstraktion des topologischen Begriffes einer Homotopie.

Definition

Es seien <math>X</math> und <math>Y</math> Kokettenkomplexe und <math>f,g\colon X\to Y</math> zwei Kettenabbildungen, d. h. Systeme von Morphismen <math>f^k\colon X^k\to Y^k</math>, die mit den Differentialen in dem Sinne verträglich sind, dass <math>f^{k+1}\circ d_X^k=d_Y^k\circ f^k</math> gilt.

Dann ist eine Kettenhomotopie <math>D\colon f\simeq g</math> eine Folge von Morphismen <math>D^k\colon X^k\to Y^{k-1}</math>, so dass <math>f-g=Dd+dD</math>, oder ausführlicher

<math>f^k-g^k=D^{k+1}\circ d_X^k+d_Y^{k-1}\circ D^k</math> für alle <math>k</math>,

gilt.

Datei:Diagram chain homotopy.svg

<math>f</math> und <math>g</math> heißen homotop, wenn es eine Kettenhomotopie <math>D\colon f\simeq g</math> gibt. Homotopie ist eine mit der Komposition verträgliche Äquivalenzrelation auf der Menge aller Kettenabbildungen.

Homotopien von Abbildungen zwischen Kettenkomplexen (und nicht Kokettenkomplexen) sind analog definiert. Zwei Kettenabbildungen <math>f=(f_k)_k</math> und <math>g=(g_k)_k</math> zwischen Kettenkomplexen <math>X=((X_k)_k, (d_k^X)_k)</math> und <math>Y=((Y_k)_k, (d_k^Y)_k)</math> heißen homotop, wenn es eine Folge <math>(D_k)_k</math> von Morphismen <math>D_k\colon X_k\rightarrow Y_{k+1}</math> gibt, so dass

<math>f_k-g_k = d_{k+1}^Y\circ D_k + D_{k-1}\circ d_k^X</math> für alle <math>k</math>.<ref>Peter Hilton und Urs Stammbach: A course in homological algebra, Springer-Verlag (1970), Graduate Texts in Mathematics, ISBN 0-387-90032-2, Kapitel IV, §3, Homotopy</ref>

Zwei Kettenkomplexe <math>X=((X_k)_k, (d_k^X)_k)</math> und <math>Y=((Y_k)_k, (d_k^Y)_k)</math> heißen kettenhomotopieäquivalent, wenn es Kettenabbildungen <math>f\colon X\rightarrow Y</math> und <math>g\colon Y\rightarrow X</math> gibt, für die die Hintereinanderausführungen <math>fg</math> und <math>gf</math> jeweils homotop zur Identität sind.

Bedeutung

Eine Abbildung, die homotop zur Nullabbildung ist, heißt nullhomotop. Die Kategorie der Kokettenkomplexe modulo nullhomotoper Abbildungen ist die Homotopiekategorie.

Homotope Kettenabbildungen induzieren dieselbe Abbildung in der Homologie bzw. Kohomologie.<ref>Peter Hilton und Urs Stammbach: A course in homological algebra, Springer-Verlag (1970), Graduate Texts in Mathematics, ISBN 0-387-90032-2, Kapitel IV, §3, Satz 3.1</ref>

Ist insbesondere <math>C</math> ein Kokettenkomplex und <math>D\colon\mathrm{id}_C\simeq0</math> eine Homotopie zwischen der Identität auf <math>C</math> und der Nullabbildung auf <math>C</math>, so ist die Kohomologie von <math>C</math> trivial, d. h. <math>C</math> ist exakt. Man spricht dann auch von einer kontrahierenden Homotopie.

Sind zwei stetige Abbildungen <math>f</math> und <math>g</math> zwischen topologischen Räumen <math>X</math> und <math>Y</math> homotop, so sind die zugeordneten Abbildungen <math>Sf</math> und <math>Sg</math> zwischen den zugehörigen singulären Kettenkomplexen homotop im oben definierten Sinne<ref>Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 (1967), Theorem 8.2</ref>. Insbesondere sind die induzierten Abbildungen zwischen den singulären Homologiegruppen gleich.

Zwei projektive Auflösungen eines Moduls über einem Ring sind homotop<ref>Peter Hilton und Urs Stammbach: A course in homological algebra, Springer-Verlag (1970), Graduate Texts in Mathematics, ISBN 0-387-90032-2, Kapitel IV, §4, Satz 4.3</ref>. Insbesondere sind die Homologien der Auflösungen gleich, was zum Begriff des abgeleiteten Funktors führt.

Einzelnachweise