Projektive Auflösung

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie und der homologischen Algebra ist eine projektive Auflösung eine lange exakte Sequenz aus projektiven Objekten, die in einem gegebenen Objekt endet.

Definition

Es seien <math>C</math> eine abelsche Kategorie (oder auch die Kategorie Grp der Gruppen) und <math>A</math> ein Objekt aus <math>C</math>. Dann heißt eine lange exakte Sequenz der Form

<math>\cdots\rightarrow P_2\rightarrow P_1\rightarrow P_0\rightarrow A\rightarrow 0</math>

projektive Auflösung von <math>A</math>, wenn sämtliche <math>P_i</math> projektiv sind.<ref>Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel VII, Projektive Auflösungen</ref><ref>P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Definition 2.5</ref>

Sind alle <math>P_j</math> sogar frei, so spricht man von einer freien Auflösung.

Existenz

Ist in der abelschen Kategorie <math>C</math> jedes Objekt Quotient eines projektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt <math>X\in \operatorname{Ob}(C)</math> einen Epimorphismus <math>P\rightarrow X</math>, in dem <math>P</math> projektiv ist, so sagt man auch, <math>C</math> besitze genügend viele projektive Objekte.

Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt <math>A</math> eine projektive Auflösung. Zunächst existiert nämlich nach Voraussetzung ein Epimorphismus <math>p_0\colon P_0\rightarrow A</math>, dann weiter ein Epimorphismus <math>p_1\colon P_1\rightarrow \operatorname{ker}(p_0)</math> auf den Kern dieses Morphismus und dann per Induktion jeweils weiter <math>p_{n+1}\colon P_{n+1}\rightarrow \operatorname{ker}(p_n)</math>.

Die wichtigste Kategorie mit genügend vielen projektiven Objekten ist die Kategorie <math>\mathrm{Mod}_R</math> der (Links-)Moduln über einem Ring <math>R</math>. Ist <math>A</math> ein solcher Modul und ist <math>(a_i)_{i\in I}</math> ein Erzeugendensystem, so hat man einen surjektiven Homomorphismus <math>R^I\rightarrow A</math>, indem man das <math>i</math>-te Basiselement des freien Moduls <math>R^I</math> auf <math>a_i</math> abbildet. Da freie Moduln projektiv sind, ist <math>A</math> Quotient eines projektiven Moduls und damit hat <math>\mathrm{Mod}_R</math> genügend viele projektive Objekte.<ref>P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Satz 2.7</ref>

Eigenschaften

Ist

<math>\cdots\rightarrow P_2\rightarrow P_1\rightarrow P_0\rightarrow A\rightarrow 0</math>

eine projektive Auflösung und

<math>\cdots\rightarrow A'_2\rightarrow A'_1\rightarrow A'_0\rightarrow A'\rightarrow 0</math>

exakt, so lässt sich jeder <math>C</math>-Homomorphismus <math>f\colon A\rightarrow A'</math> (nicht notwendigerweise eindeutig) zu einem kommutativen Diagramm

<math>\begin{matrix}

\cdots\rightarrow & P_2 & \rightarrow & P_1 & \rightarrow & P_0 & \rightarrow & A & \rightarrow 0 \\

\cdots & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\

\cdots\rightarrow & A'_2 & \rightarrow & A'_1 & \rightarrow & A'_0 & \rightarrow & A' & \rightarrow 0

 \end{matrix}
</math>

ergänzen.<ref>P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Lemma 2.8 + anschließende Bemerkung</ref>

Siehe auch

• Der duale Begriff ist der der injektiven Auflösung.
• Eine Anwendung finden projektive Auflösungen in der Berechnung abgeleiteter Funktoren.
• Fundamentallemma der homologischen Algebra
• Lemma von Schanuel

Einzelnachweise

<references />