Hypergeometrische Differentialgleichung

Im Jahr 1778 wurde von Leonhard Euler die Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung angegeben.<ref>Leonhard Euler: Transformationis Singularis, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, Band 12, 1801, Seite 58–70, online bei books.google.de</ref> Sie steht in engem Zusammenhang mit der Gaußschen hypergeometrischen Funktion, die zuerst von Carl Friedrich Gauß systematisch untersucht wurde.

Hypergeometrische Differentialgleichung

Die hypergeometrische Funktion <math>\textstyle {}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{ \Gamma(a+k) \, \Gamma(b+k) \, \Gamma(c) }{ \Gamma(a) \,\Gamma(b)\, \Gamma(c+k)} \frac{z^k}{k!}</math>, wobei <math>\Gamma(\cdot)</math> die Gammafunktion bezeichnet, genügt der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung:

<math>z(1-z)\fracVorlage:\rm d^2{{\rm d}z^2} \; {}_2F_1(a,b;c;z) + \left[c-(a+b+1)z \right] \fracVorlage:\rm d{{\rm d}z} \; {}_2F_1(a,b;c;z) - ab \; {}_2F_1(a,b;c;z) = 0</math>.

Singularitäten

Die Differentialgleichung 2. Ordnung besitzt drei hebbare Singularitäten, deren Werte im Folgenden bestimmt werden.

Ausgehend von der Hypergeometrischen Differentialgleichung in der Darstellung

<math>\fracVorlage:\rm d^2{{\rm d}z^2} \; {}_2F_1(a,b;c;z) + p(z) \fracVorlage:\rm d{{\rm d}z} \; {}_2F_1(a,b;c;z) - q(z) \; {}_2F_1(a,b;c;z) = 0</math>

mit

und

erhält man die beiden hebbaren Singularitäten bei <math>z=0</math> und <math>z=1</math>.

Die dritte hebbare Singularität wird durch die Substitution <math>\textstyle t=\frac{1}{z}, \frac{{\rm d}t}{{\rm d}z} = \frac{-1}{z^2} =-t^2</math> erhalten. Zunächst werden dazu die Ableitungen der hypergeometrische Funktion wie folgt substituiert:

<math>\fracVorlage:\rm d{{\rm d}z} \; {}_2F_1(a,b;c;z) = \fracVorlage:\rm d{{\rm d}t} \; {}_2F_1(a,b;c;t) \cdot \frac{{\rm d}t}{{\rm d}z} =-t^2 \cdot \fracVorlage:\rm d{{\rm d}t} \; {}_2F_1(a,b;c;t)</math>

und

<math>\begin{align}

\fracVorlage:\rm d^2{{\rm d}z^2} \; {}_2F_1(a,b;c;z) &= \fracVorlage:\rm d{{\rm d}t} \Big( -t^2 \cdot \fracVorlage:\rm d{{\rm d}t} \; {}_2F_1(a,b;c;t)\Big) \cdot \frac{{\rm d}t}{{\rm d}z} \\ &= -t^2 \Big(-2t\cdot \fracVorlage:\rm d{{\rm d}t} \; {}_2F_1(a,b;c;t) -t^2 \cdot \fracVorlage:\rm d^2{{\rm d}t^2} \; {}_2F_1(a,b;c;t) \Big) \\ &= t^4\cdot \fracVorlage:\rm d^2{{\rm d}t^2} \; {}_2F_1(a,b;c;t) + 2t^3 \cdot \fracVorlage:\rm d{{\rm d}t} \; {}_2F_1(a,b;c;t) \end{align}</math>

Somit nimmt die hypergeometrische Differentialgleichung, nach Division durch <math>t^4</math>, folgende Gestalt an:

<math>\fracVorlage:\rm d^2{{\rm d}t^2} \; {}_2F_1(a,b;c;t) + \tilde p(t)\cdot \fracVorlage:\rm d{{\rm d}t} \; {}_2F_1(a,b;c;t) - \tilde q(t) \; {}_2F_1(a,b;c;t) = 0 </math>

mit

<math>\tilde p(t)

= \frac{2}{t} + \frac{1}{t^2} p(z=\tfrac{1}{t}) = \frac{2}{t} + \frac{1}{t^2} \Big( ct + \frac{c-a-b-1}{1-\frac{1}{t}}\Big) = \frac{c+2}{t} + \frac{c-a-b-1}{t(t-1)} </math> und

<math> \tilde q(t)

= \frac{1}{t^4} q(z=\tfrac{1}{t}) = \frac{1}{t^4} \frac{ab}{\frac{1}{t}(1-\frac{1}{t})} = \frac{ab}{t^2(t-1)} </math>

Demnach besitzt die hypergeometrische Differentialgleichung zudem bei <math>z=\tfrac{1}{t} =\infty</math> eine hebbare Singularität.

Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung

Mit dem Potenzreihenansatz <math>\textstyle u(z) = \sum_{k=0}^\infty u_k z^k</math> mit komplexen Koeffizienten <math>u_k</math> lautet die hypergeometrische Differentialgleichung:

<math>z(1-z)\fracVorlage:\rm d^2{{\rm d}z^2} \sum_{k=0}^\infty u_k z^k + \left[c-(a+b+1)z \right] \fracVorlage:\rm d{{\rm d}z} \sum_{k=0}^\infty u_k z^k - ab \sum_{k=0}^\infty u_k z^k = 0</math>.

Nach Ausführung der Ableitungen ergibt sich die Darstellung

<math>z(1-z) \sum_{k=2}^\infty k(k-1)u_k z^{k-2} + \left[c-(a+b+1)z \right] \sum_{k=1}^\infty ku_k z^{k-1} - ab \sum_{k=0}^\infty u_k z^k = 0</math>.

Zusammenfassen der Potenzen von <math>z</math> führt zu

<math> \sum_{k=2}^\infty k(k-1)u_k z^{k-1} - \sum_{k=2}^\infty k(k-1)u_k z^k + c\sum_{k=1}^\infty ku_k z^{k-1} -(a+b+1)\sum_{k=1}^\infty ku_k z^k - ab \sum_{k=0}^\infty u_k z^k = 0</math>.

Mittels Indexverschiebung ergibt sich

<math> \sum_{k=0}^\infty (k+1)ku_{k+1}z^k - \sum_{k=0}^\infty k(k-1)u_k z^k + c\sum_{k=0}^\infty (k+1)u_{k+1} z^k -(a+b+1)\sum_{k=0}^\infty ku_k z^k - ab \sum_{k=0}^\infty u_k z^k = 0</math>.

Diese Gleichung ist offensichtlich dann erfüllt, wenn:

<math>(k+1)ku_{k+1} - k(k-1)u_k + c(k+1)u_{k+1} -(a+b+1)ku_k -abu_k = 0</math>.

Somit ist für den Koeffizienten <math>u_k</math> folgende Rekursion gefunden:

<math>\begin{align}

u_{k+1} &= \frac{k(k-1) + (a+b+1)k + ab}{(k+1)k + c(k+1)} u_k \\ &= \frac{k^2 - k + ka + kb +k + ab}{(c+k)(1+k)} u_k \\ &= \frac{k^2 + ka + kb + ab}{(c+k)(1+k)} u_k \\ &= \frac{(a+k)(b+k)}{(c+k)(1+k)} u_k \\ &= \frac{(a,k)(b,k)}{(c,k)(1,k)} u_0 \end{align}</math>

Hierbei bezeichnet <math>(x,n) \equiv \tfrac{\Gamma (x+n)}{\Gamma(x)}</math> das Pochhammer-Symbol.

Wird als Anfangswert <math>u_0 =1 </math> gesetzt, so lautet die erste Basislösung der hypergeometrischen Differentialgleichung:

<math>u(z)= {}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(a,k)(b,k)}{(c,k)(1,k)} z^k = \sum_{k=0}^\infty \frac{ \Gamma(a+k) \, \Gamma(b+k) \, \Gamma(c) }{ \Gamma(a) \,\Gamma(b)\, \Gamma(c+k)} \frac{z^k}{k!}

</math>.

Für <math>c\notin\Z</math> erhält man als zweite linear unabhängige Basislösung<ref>Erwin Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. John Wiley & Sons 1988, S. 204 f.</ref>

Beide zusammen spannen den gesamten Lösungsraum der hypergeometrischen Differentialgleichung auf:

<math>y(z)=C_1 u(z)+C_2 v(z)</math> mit <math>C_1,C_2\in\Complex</math>

Siehe auch

Literatur

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Ludwig Bieberbach: Theorie der Differentialgleichungen Springer, Berlin 1930, Zweiter Abschnitt, IV. Kapitel, § 7, uni-goettingen.de

Einzelnachweise