Hilbert-Schmidt-Operator

In der Mathematik ist ein Hilbert-Schmidt-Operator (nach David Hilbert und Erhard Schmidt) ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbertraum, für den eine gewisse Zahl, die Hilbert-Schmidt-Norm, endlich ist. Die Hilbert-Schmidt-Klasse, das heißt die Menge all dieser Operatoren, bildet mit der Hilbert-Schmidt-Norm eine Banachalgebra, die gleichzeitig ein Hilbertraum ist. Hilbert-Schmidt-Operatoren können durch unendlich-dimensionale Matrizen charakterisiert werden.

Motivation und Definition

Seien <math>(e_i)_i</math> und <math>(f_i)_i</math> zwei Orthonormalbasen im Hilbertraum <math>H</math>. <math>A</math> sei ein stetiger linearer Operator auf <math>H</math> und <math>A^*</math> sein adjungierter Operator. Dann gilt

<math>\sum_i\|Ae_i\|^2 \,=\, \sum_{i,k}|\langle Ae_i,f_k\rangle |^2 \,=\, \sum_{i,k}|\langle e_i,A^*f_k\rangle |^2 \,=\, \sum_k \|A^*f_k\|^2 </math>.

Indem man zwei gleiche Orthonormalbasen, <math>(e_i)_i \,=\, (f_i)_i</math>, verwendet, zeigt diese Rechnung, dass die linke Seite unverändert bleibt, wenn man <math>A</math> durch <math>A^*</math> ersetzt. Das gilt dann auch für die rechte Seite. Ersetzt man dort <math>A</math> durch <math>A^*</math> bei unterschiedlichen Orthonormalbasen und beachtet <math>A^{**}=A</math>, so erkennt man, dass die Größe <math>\textstyle \sum_i\|Ae_i\|^2</math> unabhängig von der gewählten Orthonormalbasis ist. Ist diese Größe endlich, so heißt <math>A</math> ein Hilbert-Schmidt-Operator und

<math>\|A\|_2 := \left(\sum_i \|Ae_i\|^2\right)^{\frac 1 2}</math>

ist seine Hilbert-Schmidt-Norm. Statt <math>\|A\|_2</math> findet man auch die Schreibweise <math>\|A\|_{HS}</math>.

Die Hilbert-Schmidt-Klasse, das heißt die Menge aller Hilbert-Schmidt-Operatoren auf <math>H</math>, ist hinsichtlich der algebraischen Operationen Addition, Multiplikation und dem Adjungieren abgeschlossen. Sie ist also eine Algebra und wird mit <math>HS(H)</math> bezeichnet.

Ein Operator <math>A \colon H_1\rightarrow H_2</math> zwischen zwei Hilberträumen heißt Hilbert-Schmidt-Operator, wenn <math>\textstyle \sum_i\|Ae_i\|^2 </math> für eine Orthonormalbasis <math>(e_i)_i</math> von <math>H_1</math> endlich ist. Ähnlich wie oben überlegt man sich, dass diese Zahl von der speziellen Wahl der Orthonormalbasis unabhängig ist, und bezeichnet die Wurzel aus dieser Zahl ebenfalls mit <math>\|A\|_{HS}</math>.

Unendliche Matrizen

Legt man eine Orthonormalbasis fest, so kann man jeden stetigen linearen Operator auf <math>H</math> als unendliche Matrix <math>(a_{i,j})_{i,j}</math> mit <math>a_{i,j} = \langle Ae_j, e_i\rangle </math> auffassen. <math>A</math> ist durch diese Matrix und die gewählte Orthonormalbasis eindeutig bestimmt, denn <math>Ae_i</math> wird auf <math>\textstyle \sum_j \langle Ae_i, e_j\rangle e_j</math> abgebildet. Es gilt <math>\textstyle \sum_{i,j}|a_{i,j}|^2 \,=\, \|A\|_2^2</math>. Daher sind die Hilbert-Schmidt-Operatoren genau diejenigen stetigen, linearen Operatoren, deren Matrixkoeffizienten quadratisch summierbar sind. Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung ergibt sich die Submultiplikativität der Hilbert-Schmidt-Norm, das heißt <math>\textstyle \|AB\|_2 \le \|A\|_2 \|B\|_2</math>. Die Hilbert-Schmidt-Norm verallgemeinert daher die Frobeniusnorm auf den Fall unendlich-dimensionaler Hilberträume.

Integraloperatoren

Viele fredholmsche Integraloperatoren sind Hilbert-Schmidt-Operatoren. Sei nämlich <math>T \in L(L^2([0,1]),L^2([0,1]))</math> ein beschränkter Operator von <math>L^2([0,1])</math> nach <math>L^2([0,1])</math>, dann kann gezeigt werden, dass <math>T</math> genau dann ein Hilbert-Schmidt-Operator ist, wenn es einen Integralkern <math>k \in L^2([0,1] \times [0,1])</math> gibt mit

<math>T(x)(s) = \int_0^1 k(s,t) x(t) \mathrm{d} t</math>

fast überall. In diesem Fall stimmen die Hilbert-Schmidt-Norm von <math>T</math> und die <math>L^2</math>-Norm von <math>k</math> überein, es gilt also

<math>\|T\|_{HS} = \left(\int_0^1 \int_0^1 |k(s,t)|^2 \mathrm{d} s \mathrm{d} t\right)^{\frac{1}{2}} = \|k\|_{L^2}.</math>

Eine analoge Aussage gilt auch für beliebige Maßräume anstatt des Einheitsintervalls.

HS(H) als Hilbertraum

Das Produkt zweier Hilbert-Schmidt-Operatoren ist stets ein Spurklasse-Operator. Sind <math>A</math> und <math>B</math> zwei Hilbert-Schmidt-Operatoren, so ist daher durch <math>\langle A,B \rangle := Sp(B^*A)</math> ein Skalarprodukt auf dem Raum der Hilbert-Schmidt-Operatoren definiert. <math>HS(H)</math> wird mit diesem Skalarprodukt ein Hilbertraum und es ist <math> \|A\|_2 = \sqrt{\langle A,A \rangle}</math>, d. h. die Hilbert-Schmidt-Norm ist eine Hilbertraumnorm. Im endlichdimensionalen Fall entspricht dieses Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt dem Frobenius-Skalarprodukt für Matrizen.

HS(H) als Banachalgebra

Die Operatoren-Algebra <math>HS(H)</math> ist mit der Hilbert-Schmidt-Norm nicht nur ein Hilbertraum, sondern wegen der Ungleichung <math>\|AB\|_2 \le \|A\|_2 \|B\|_2</math> gleichzeitig eine Banachalgebra. <math>HS(H)</math> ist ein zweiseitiges Ideal in der Algebra <math>B(H)</math> aller stetigen, linearen Operatoren auf H, und es gilt <math>\|BAC\|_2 \le \|B\|\cdot \|A\|_2\cdot \|C\|</math> für alle <math>A\in HS(H)</math>, <math>B,C \in B(H)</math>. Jeder Hilbert-Schmidt-Operator ist ein kompakter Operator. Daher ist <math>HS(H)</math> auch ein zweiseitiges Ideal in der C^*-Algebra <math>K(H)</math> der kompakten Operatoren auf <math>H</math>, <math>HS(H)</math> liegt dabei dicht in <math>K(H)</math> bzgl. der Operatornorm. Die Spurklasse <math>N(H)</math> ist als zweiseitiges, dichtes Ideal in <math>HS(H)</math> enthalten. Man hat daher die Inklusionen

<math>N(H) \subset HS(H) \subset K(H) \subset B(H) </math>.

Außer <math>\{0\}</math> und sich selbst enthält <math>HS(H)</math> keine weiteren <math>\|\cdot\|_2</math>-abgeschlossenen zweiseitigen Ideale. Die Algebra der Hilbert-Schmidt-Operatoren ist in diesem Sinne einfach, sie bildet den Grundbaustein der Strukturtheorie der H^*-Algebren.

Siehe auch

Die Hilbert-Schmidt-Operatoren bilden einen Spezialfall einer Schatten-Klasse (und die Hilbert-Schmidt-Norm ebenfalls einen Spezialfall einer Schattennorm).

Literatur

R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983