Heun-Verfahren
Das Heun-Verfahren, benannt nach Karl Heun, ist ein einfaches Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertaufgaben. Es ist ein Einschrittverfahren und ist ein Beispiel für ein zweistufiges explizites Runge-Kutta-Verfahren.<ref name="Schwarz354">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Im Gegensatz zum expliziten Euler-Verfahren erfolgt die Näherung über ein Trapez und nicht über ein Rechteck.
Verfahren
Zur numerischen Lösung des Anfangswertproblems<ref name="Schwarz354" />
- <math> y'=f(t,y), \quad \quad y(t_0)=y_0 </math>
für eine gewöhnliche Differentialgleichung mit dem Verfahren von Heun wähle man eine Diskretisierungsschrittweite <math> h>0 </math>, betrachte die diskreten Zeitpunkte
- <math> t_k=t_0+kh, \quad \quad k=0,1,2,\dots </math>
und berechne zunächst analog zum expliziten Euler-Verfahren
- <math> y^{[P]}_{k+1}=y_k+hf(t_k,y_k) \quad,\quad k=0,1,2,\dots </math>
und dann
- <math> y_{k+1}=y_k+\frac{1}{2}h(f(t_k,y_k)+f(t_{k+1},y^{[P]}_{k+1})) \quad,\quad k=0,1,2,\dots </math>
was sich umformen lässt zu
- <math> y_{k+1}=\frac{1}{2} y_k+ \frac{1}{2} (y_{k+1}^{[P]} + h f(t_{k+1},y^{[P]}_{k+1})) \quad,\quad k=0,1,2,\dots </math>
Die <math>y_k</math> sind die Näherungswerte der tatsächlichen Lösungsfunktion <math>y(t)</math> zu den Zeitpunkten <math>t_k</math>.
Mit <math>h</math> wird die Schrittweite bezeichnet. Verkleinert man diese, so wird der Verfahrensfehler kleiner (sprich: die <math>y_k</math> liegen näher am tatsächlichen Funktionswert <math>y(t_k)</math>). Der globale Fehler des Verfahrens von Heun geht mit <math>h^2</math> gegen null; man spricht auch von Konvergenzordnung 2.
Ähnliche Einschrittverfahren
- Explizites Euler-Verfahren (Eulersches Polygonzugverfahren)
- Implizites Euler-Verfahren
- Runge-Kutta-Verfahren
- Klassisches Runge-Kutta-Verfahren
Einzelnachweise
<references />